Question

如圖，已知一次函數(shù)y₁=kx+b圖象與x軸相交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)的圖象相交于B（-1，5）、C（，d）兩點(diǎn)．點(diǎn)P（m，n）是一次函數(shù)y₁=kx+b的圖象上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求k、b的值；
（2）設(shè)-1＜m＜，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線(xiàn)與函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)D．試問(wèn)△PAD的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)m=1-a，如果在兩個(gè)實(shí)數(shù)m與n之間（不包括m和n）有且只有一個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）將B點(diǎn)的坐標(biāo)代入y₂=，得c=-5，
則y₂=-，
把x=代入得y=-2，
則C（，-2）
將B、C代入直線(xiàn)y₁=kx+b得：；

（2）存在．
令y₁=0，x=，則A的坐標(biāo)是：（，0）；
由題意，點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)（不含A，B），
設(shè)點(diǎn)P（，n），
∵DP平行于x軸，
∴D、P的縱坐標(biāo)都是n，
∴D的坐標(biāo)是：（-，n），
∴S=•n•PD=（+）×n=-（n-）²+；
而-2m+3=n，得0＜n＜5；
所以由S關(guān)于n的函數(shù)解析式，所對(duì)應(yīng)的拋物線(xiàn)開(kāi)口方向決定，當(dāng)n=，即P（，），S的最大值是：．

（3）由已知P（1-a，2a+1），易知，m≠n，1-a≠2a+1，a≠0；
若a＞0，m＜1＜n，由題設(shè)m≥0，n≤2，
則，
解不等式組的解集是：0＜a≤；
若a＜0，n＜1＜m，由題設(shè)n≥0，m≤2，
則，
解得：-≤a＜0；
綜上：a的取值范圍是：-≤a＜0，0＜a≤．
分析：（1）B、C兩點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積相等，可求d的值，將B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y₁=kx+b中，列方程組可求k、b的值；
（2）存在，根據(jù)直線(xiàn)解析式可求A點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)P在直線(xiàn)上，點(diǎn)P（，n），PD∥x軸，則D、P的縱坐標(biāo)都是n，此時(shí)，D（-，n），則PD=+，由S=•n•PD，可求△PAD的面積表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值；
（3）點(diǎn)P（m，n）在一次函數(shù)圖象上，由一次函數(shù)解析式可知，設(shè)m=1-a，則P（1-a，2a+1），依題意m≠n，可知a≠0，根據(jù)a＞0和a＜0兩種情況，分別求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)積相等求C點(diǎn)坐標(biāo)，由“兩點(diǎn)法”求直線(xiàn)解析式，根據(jù)平行于x軸直線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，表示三角形的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值，本題還考查了分類(lèi)討論的思想．