Question

【題目】如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)B、C分別在邊AD、AF上，此時(shí)BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時(shí)，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)H．
①求證：BD⊥CF；
②當(dāng)AB=2，AD=3 時(shí)，求線段DH的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：BD=CF．

理由如下：由題意得，∠CAF=∠BAD=θ，

在△CAF和△BAD中，

，

∴△CAF≌△BAD，

∴BD=CF；

（2）

解：①由（1）得△CAF≌△BAD，

∴∠CFA=∠BDA，

∵∠FNH=∠DNA，∠DNA+∠NAD=90°，

∴∠CFA+∠FNH=90°，

∴∠FHN=90°，即BD⊥CF；

②連接DF，延長(zhǎng)AB交DF于M，

∵四邊形ADEF是正方形，AD=3 ，AB=2，

∴AM=DM=3，BM=AM﹣AB=1，

DB= = ，

∵∠MAD=∠MDA=45°，

∴∠AMD=90°，又∠DHF=90°，∠MDB=∠HDF，

∴△DMB∽△DHF，

∴ ，即 = ，

解得，DH= ．

【解析】本題考查的是正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)角的定義和旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正確作出輔助性是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明△CAF≌△BAD，證明結(jié)論；（2）①根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、垂直的定義證明即可；②連接DF，延長(zhǎng)AB交DF于M，根據(jù)題意和等腰直角三角形的性質(zhì)求出DM、BM的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可得到答案．