Question

如圖，過⊙O內一點P作弦AB、CD，且AB=CD，在

BD

的兩點E、F，且

BE

=

DF

，求證：直線PO是EF的垂直平分線．

Answer 1

考點：圓心角、弧、弦的關系,線段垂直平分線的性質

專題：證明題

分析：連接OB，OD，OE，OH，根據(jù)相交弦定理及AB=CD可得出PB=PD，由SSS定理得出△POB≌△POD，故可得出∠POB=POD，再根據(jù)

BE

=

DF

得出∠BOE=∠DOF，所以∠FOH=∠EOH，根據(jù)OE=OF即可得出結論．

解答：證明：連接OB，OD，OE，OH，
∵AB與CD是兩條相交弦，
∴AP•PB=PC•PD，
∵PB=AB-AP，CP=CD-PD，
∴AP×（AB-BP）=（CD-PD）×PD，
∵AB=CD，
∴AP×（AB-BP）=（AB-PD）×PD，
∴AB=AP+PD．
∵AB=AP+PB，
∴PB=PD．
在△POB與△POD中，

PB=PD PO=PO OB=OD

，
∴△POB≌△POD（SSS），
∴∠POB=POD．
∵

BE

=

DF

，
∴∠BOE=∠DOF，
∴∠FOH=∠EOH，
∵OE=OF，
∴PO是EF的垂直平分線．

點評：本題考查的是圓心角、弧、弦的關系，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．