Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為半圓上的四等分點(diǎn)，在直徑AB所在的直線上找一點(diǎn)P，連接CP交⊙O于點(diǎn)Q（異于點(diǎn)P），使PQ=OQ，則∠CPO=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：圓心角、弧、弦的關(guān)系,三角形內(nèi)角和定理

專題：分類討論

分析：連接OC，根據(jù)條件可得∠A0C=45°，設(shè)∠CPO=x°，由隱藏條件：OQ=OC可得∠OCQ=∠CQO，再利用三角形外角和定理可建立關(guān)于x的方程，求出x的值即可得問題答案，本題還有兩種情況，解答過程同上．

解答：解：當(dāng)P在直線AB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示：
連接OC，
設(shè)∠CPO=x°，
∵PQ=OQ，
∴∠QOP=∠CPO=x°，
∴∠CQO=2x°，
∵OQ=OC，
∴∠OCQ=∠CQO=2x°，
∵點(diǎn)C為半圓上的三等分點(diǎn)，
∴∠AOC=45°，
∴x+2x=45°，
∴x=15°，
∴∠CPO=15°，
同理可得，當(dāng)P在直線BA延長(zhǎng)線上時(shí)，∠CPO=30°；
當(dāng)P在線段AB上時(shí)，∠CPOO=100°．
故答案為：15°或30°或100°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，根據(jù)n°的圓心角對(duì)著n°的弧以及一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半，得圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半即可解決問題．