【題目】

(1)如圖1,在正方形ABCD中,M是BC邊(不含端點B、C)上任意一點,P是BC延長線上一點,N是DCP的平分線上一點.若AMN=90°,求證:AM=MN.

下面給出一種證明的思路,你可以按這一思路證明,也可以選擇另外的方法證明.

證明:在邊AB上截取AE=MC,連ME.正方形ABCD中,B=BCD=90°,AB=BC.

∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=MAB=MAE.

(下面請你完成余下的證明過程)

(2)若將(1)中的正方形ABCD改為正三角形ABC(如圖2),N是ACP的平分線上一點,則當AMN=60°時,結論AM=MN是否還成立?請說明理由.

(3)若將(1)中的正方形ABCD改為邊形ABCD……X,請你作出猜想:當AMN= °時,結論AM=MN仍然成立.(直接寫出答案,不需要證明)

【答案】

(1)證明略

(2)理由略

(3)

【解析】解:(1)AE=MC,BE=BM, ∴∠BEM=EMB=45°, ∴∠AEM=135°,

CN平分DCP,∴∠PCN=45°,∴∠AEM=MCN=135°

AEM和MCN中:∴△AEM≌△MCN,AM=MN

(2)仍然成立.

在邊AB上截取AE=MC,連接ME

∵△ABC是等邊三角形,

AB=BC,B=ACB=60°,

∴∠ACP=120°

AE=MC,BE=BM

∴∠BEM=EMB=60°

∴∠AEM=120°

CN平分ACP,∴∠PCN=60°,

∴∠AEM=MCN=120°

∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=BAM

∴△AEMMCN,AM=MN

(3)

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