Question

已知∠A是△ABC中最小的內(nèi)角，∠B和∠C將此三角形的外接圓分成兩個弧，U為落在不含A點的弧上且異于B、C的一點，線段AB、AC的垂直平分線分別交AU于V、W，直線BV、CW相交于T，求證：AU=TB+TC．

Answer 1

考點：四點共圓,全等三角形的判定與性質,線段垂直平分線的性質

專題：證明題

分析：設線段AB、AC的垂直平分線交點為0，則點O就是△ABC外接圓的圓心．在線段AU上取一點M，使得AM=CT，在線段AU上取一點N，使得AN=BT，連接OM、OT、ON、OA、OU，如圖所示．易證△MWO≌△TWO，則有OM=OT．同理可得ON=OT，從而有OM=ON，進而可證到△AMO≌△UNO，則有AM=UN，就可得到AU=AN+UN=BT+AM=BT+CT．

解答：解：設線段AB、AC的垂直平分線交點為0，
則點O就是△ABC外接圓的圓心．
在線段AU上取一點M，使得AM=CT，
在線段AU上取一點N，使得AN=BT，
連接OM、OT、ON、OA、OU，如圖所示．
∵OD垂直平分AC，
∴AW=CW，∠AWO=∠CWO．
∵AM=CT，
∴MW=TW．
在△MWO和△TWO中，

MW=TW ∠MWO=∠TWO WO=WO

，
∴△MWO≌△TWO，
∴OM=OT．
同理可得：ON=OT．
∴OM=ON，
∴∠OMN=∠ONM，
∴∠AMO=∠UNO．
∵OA=OU，
∴∠OAM=∠OUN．
在△AMO和△UNO中，

∠AMO=∠UNO ∠OAM=∠OUN OA=OU

，
∴△AMO≌△UNO，
∴AM=UN，
∴AU=AN+UN=BT+AM=BT+CT．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質、三角形的外心、線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質等知識，運用了“截長補短法”，這種方法在幾何的證明題中，應用廣泛，通過“截長補短”可構造等角、等邊或全等三角形．