Question

如圖，△ABC中，∠ABC=90°，A（0，4.8），B（3.6，0）．BC=3，
（1）AB=

 

；
（2）當(dāng)△ABC形狀大小不變，A、B兩點(diǎn)沿y，x軸滑動(dòng)過(guò)程中，OC的最大值為

 

；
（3）點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A-B-C路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為C點(diǎn)；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿B-C-A路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A點(diǎn)．點(diǎn)P和Q分別以3和1的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻，分別過(guò)P和Q作PE⊥x軸于E，QF⊥x軸于F．問(wèn)：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間時(shí)，△PEB與△QFB全等？請(qǐng)說(shuō)明理由．（A、B不與原點(diǎn)重合）

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),全等三角形的判定,直角三角形斜邊上的中線

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出OA、OB，再利用勾股定理列式計(jì)算即可得解；
（2）取AB的中點(diǎn)D，連接OD、CD，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OD，利用勾股定理列式求出CD，然后根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊判斷出O、D、C三點(diǎn)共線時(shí)OC最大；
（3）求出點(diǎn)P、Q到達(dá)點(diǎn)C的時(shí)間，然后分點(diǎn)P在AB上和點(diǎn)P在BC上兩種情況，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PB=QB，然后列方程求解即可．

解答：解：（1）∵A（0，4.8），B（3.6，0），
∴OA=4.8，OB=3.6，
∴AB=

OA2+OB2

=

4．82+3．62

=6；
故答案為：6；

（2）取AB的中點(diǎn)D，連接OD、CD，
∵△AOB是直角三角形，
∴OD=BD=

1

2

AB=

1

2

×6=3，
在Rt△BCD中，CD=

BC2+BD2

=

32+32

=3

2

，
當(dāng)O、D、C三點(diǎn)共線時(shí)OC最大，最大值為3

2

+3；
故答案為：3

2

+3；

（3）∵（6+3）÷3=3，
3÷1=3，
∴點(diǎn)P、Q到達(dá)點(diǎn)C的時(shí)間都是3秒，
點(diǎn)P在AB上時(shí)，∵△PEB≌△BFQ，
∴PB=QB，
∴6-3t=t，
解得t=

3

2

，
點(diǎn)P在BC上時(shí)，∵△PEB≌△QFB，
∴PB=QB，
∴3t-6=t，
解得t=3，
綜上所述，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)

3

2

秒或3秒時(shí)，△PEB與△QFB全等．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，難點(diǎn)在于（2）確定出OC最大時(shí)的情況，（3）判斷出P、Q同時(shí)到達(dá)點(diǎn)C是解題的關(guān)鍵．