Question

（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE．且點(diǎn)G在矩形ABCD內(nèi)部．小明將BG延長交DC于點(diǎn)F，認(rèn)為GF=DF，你同意嗎？請說明理由．
（2）問題解決：保持（1）中的條件不變，若DF=4，CD=9，求

AD

AB

的值．
（3）推廣延伸：保持（1）中的條件不變，若DC=2DF，求

AD

AB

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）求簡單的線段相等，可證線段所在的三角形全等，即連接EF，證△EGF≌△EDF即可；
（2）分別求出BF、CF，在RT△BCF中，利用勾股定理即可得出答案；
（3）可設(shè)DF=x，BC=y；進(jìn)而可用x表示出DC、AB的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)知AB=BG，即可得到BG的表達(dá)式，由（1）證得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表達(dá)式，進(jìn)而可在Rt△BFC中，根據(jù)勾股定理求出x、y的比例關(guān)系，即可得到

AD

AB

的值．

解答：解：（1）同意．連接EF，
則∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF．
∴GF=DF．

（2）由題意得，CF=CD-DF=5，BF=BG+GF=AB+DF=13，設(shè)AD=x，則BC=x，
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即x²+25=169，
解得：x=12，即AD=12．

AD

AB

=

12

9

=

4

3

．
故

AD

AB

的值為

4

3

；

（3）由（1）知，GF=DF．
設(shè)DF=x，BC=y，
則有GF=x，AD=y．
∵DC=2DF，
∴CF=x，DC=AB=BG=2x，
∴BF=BG+GF=3x．
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²．即y²+x²=（3x）²．
∴y=2

2

x，
∴

AD

AB

的=

y

2x

=

2

．

點(diǎn)評：此題考查了矩形的性質(zhì)、圖形的折疊變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等重要知識，難度適中．