【題目】如圖,拋物線y=ax2﹣2ax+3的圖象與x軸分別交于點A,B,與y軸交于點C,已知BO=CO.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點E在線段OB上,過點E作x軸的垂線交拋物線于點P,連結PA,若PA⊥CE,垂足為點F,求OE的長.
【答案】(1)拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3;(2)OE的長為
【解析】
(1)利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標,由OB=OC可得出點B的坐標,根據(jù)點B的坐標利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;
(2)設PA交y軸于點D,由∠ADO=∠CDF利用等角的余角相等可得出∠PAB=∠OCE,結合∠PEA=∠EOC=90°可得出△PEA∽△EOC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出=,設點E的坐標為(x,0),則點P的坐標為(x,﹣x2+2x+3),進而可得出關于x的方程,解之即可得出結論.
(1)當x=0時,y=3,∴點C的坐標為(0,3),∴OB=OC=3,∴點B的坐標為(3,0).
∵拋物線y=ax2﹣2ax+3的圖象過點B(3,0),∴0=9a﹣6a+3,解得:a=﹣1,∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3.
(2)設PA交y軸于點D,如圖所示.
∵PA⊥CE,∴∠EFA=∠EOC=90°.
∵∠ADO=∠CDF,∴∠PAB=∠OCE.
∵PE⊥x軸,∴∠PEA=∠EOC=90°,∴△PEA∽△EOC,∴=.
設點E的坐標為(x,0),則點P的坐標為(x,﹣x2+2x+3),∴=,解得:x=或x=-1(舍去),即OE的長為.
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【題目】已知射線AP是△ABC的外角平分線,連結PB、PC.
(1)如圖1,若BP平分∠ABC,且∠ACB=30°,寫出∠APB的度數(shù).
(2)如圖1,若P與A不重合,求證:AB+AC<PB+PC.
(3)如圖2,若過點P作PM⊥BA,交BA延長線于M點,且∠BPC=∠BAC,求:的值.
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【題目】有A、B兩個港口,水由A流向B,水流的速度是4千米/小時,甲、乙兩船同時由A順流駛向B,各自不停地在A、B之間往返航行,甲在靜水中的速度是28千米/小時,乙在靜水中的速度是20千米/小時.
設甲行駛的時間為t小時,甲船距B港口的距離為S1千米,乙船距B港口的距離為S2千米,如圖為S1(千米)和t(小時)函數(shù)關系的部分圖象.
(1)A、B兩港口距離是_____千米.
(2)在圖中畫出乙船從出發(fā)到第一次返回A港口這段時間內(nèi),S2(千米)和t(小時)的函數(shù)關系的圖象.
(3)求甲、乙兩船第二次(不算開始時甲、乙在A處的那一次)相遇點M位于A、B港口的什么位置?
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【題目】如圖,在△ABC中,AD是高,AE,BF是角平分線,它們相交于點O,∠BAC=62°,∠C=70°,求∠EAD,∠BOE的度數(shù)分別是多少?
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊的中線,過點A作BC的平行線,過點B作AD的平行線,兩線交于點E.
(1)求證:四邊形ADBE是矩形;
(2)連結DE,交AB與點O,若BC=8,AO=,求△ABC的面積.
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【題目】小明參加某個智力競答節(jié)目,答對最后兩道單選題就順利通關.第一道單選題有3個選項,第二道單選題有4個選項,這兩道題小明都不會,不過小明還有一個“求助”沒有用(使用“求助”可以讓主持人去掉其中一題的一個錯誤選項).
(1)如果小明第一題不使用“求助”,那么小明答對第一道題的概率是 .
(2)如果小明將“求助”留在第二題使用,請用樹狀圖或者列表來分析小明順利通關的概率.
(3)從概率的角度分析,你建議小明在第幾題使用“求助”.(直接寫出答案)
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【題目】若A、B兩點關于y軸對稱,點A在雙曲線y=上,點B在直線y=-x上,則點B的坐標是___________________________.
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【題目】如圖,直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點,以OA為邊在x軸的下方作等邊三角形OAC,將點C向上平移m個單位長度,使其對應點C′恰好落在直線AB上,則m=( 。
A. 2﹣ B. 2+ C. 4﹣ D. 4+
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