Question

如圖，AB為的直徑，點C在⊙O上，點P是直徑AB上的一點（不與AB重合）過點P作AB的垂線交BC的延長線于點Q．
（1）在線段PQ上取一點D，使DQ=DC，連接DC，試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若BP=6，AP=1，QP=8，求QC的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）連結(jié)OC，由OC=OB得∠2=∠B，DQ=DC得∠1=∠Q，根據(jù)QP⊥PB得到∠Q+∠B=90°，則∠1+∠2=90°，再利用平角的定義得到∠DCO=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到CD為⊙O的切線；
（2）連結(jié)AC，由AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°，根據(jù)勾股定理求得BQ、BC，然后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)求得BC，最后利用QC=BQ-BC進(jìn)行計算即可．

解答：（1）解：CD與⊙O相切．理由如下：如圖，
∵OC=OB，
∴∠2=∠B，
∵DQ=DC，
∴∠1=∠Q，
∵QP⊥PB，
∴∠BPQ=90°，
∴∠Q+∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠DCO=180°-∠1-∠2=90°，
∴OC⊥CD，
而OC為⊙O的半徑，
∴CD為⊙O的切線；

（2）解：連接AC，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△BPQ中，BQ=

QP2+BP2

=

82+62

=10，
∵∠ACB=∠QPB=90°，∠ABC=∠QPB，
∴△ABC∽△QBP，
∴

BC

BP

=

AB

BQ

，
∵AB=AP+BP=1+6=7，
∴

BC

6

=

7

10

，
∴BC=4.2，
∴QC=BQ-BC=10-4.2=5.8．

點評：本題考查了切線的判定和勾股定理的應(yīng)用，切線的判定定理是：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查等腰三角形的性質(zhì)以及三角形相似的判定和性質(zhì)．