Question

如圖1，已知拋物線過三點(diǎn)O（0，0）、A（8，0）、B（2，2

3

），弧AB過線段OA的中點(diǎn)C，若點(diǎn)E為弧AB所在圓的圓心．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求∠BAO的度數(shù)；
（3）求圓心點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在這條拋物線上；
（4）若弧BC的中點(diǎn)為P，是否在x軸上存在點(diǎn)M，使得△APB與△AMP相似？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過O（0，0），A（8，0），B（2，2

3

）三點(diǎn)，根據(jù)待定系數(shù)法可求這條拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)B作BD⊥OA于D，根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，2

3

），求出BD=2

3

，AD=6，再根據(jù)tan∠BAO=

BD

AD

=

2 3

6

即可求出∠BAO；
（3）根據(jù)中垂線的性質(zhì)可求點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，2

3

），再代入拋物線解析式進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（4）根據(jù)△PBA的三個(gè)角分別為15°，45°，120°，分兩種情況討論①當(dāng)AM₁=AB時(shí)，則△APB∽△AP M₁，先求出AB，從而得出OM₁=8-4

3

，即可求出M₁ 的坐標(biāo)，②連結(jié)EP，根據(jù)△APB∽△AP M₂時(shí)，

AM

AP

=

AP

AB

，代入得出AM，再求出OM₂即可得出M₂ 的坐標(biāo)．

解答：解：（1）把O（0，0），代入拋物線解析式y(tǒng)=ax²+bx+c中，得c=0                 
把A（8，0），B（2，2

3

），分別代入拋物線解析式y(tǒng)=ax²+bx中，得

64a+8b=0 4a+2b= 3

，
解得

a=- 3 6 b= 4 3 3

，
則這條拋物線解析式y(tǒng)=-

3

6

x²+

4

3

3

x；
（2）如圖1，過點(diǎn)B作BD⊥OA于D，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，2

3

），
∴OD=2，BD=2

3

，
∴AD=8-2=6，
∵tan∠BAO=

BD

AD

=

2 3

6

=

3

3

，
∴∠BAO=30°；

（3）如圖2，
∵線段OA的中點(diǎn)是C，
∴點(diǎn)C（4.0），
∴AC的中垂線是直線x=6，
∵BC的中垂線的解析式是y=

3

3

x，
∴由

x=6 y= 3 3 x

得：

x=6 y=2 3

，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，2

3

），
∵當(dāng)x=6時(shí)，y=-

3

6

×6²+

4

3

3

×6=2

3

，
∴點(diǎn)E在拋物線上；                                             

（4）存在，
根據(jù)題意得：△PBA的三個(gè)角分別為15°，45°，120°，
如圖3，
①∵點(diǎn)P是弧BC的中點(diǎn)，
當(dāng)AM₁=AB時(shí)，
則△APB∽△AP M₁，
∵A（8，0），B（2，2

3

），
∴AB=

(8-2)2+(0-2 3 )2

=4

3

，
∴OM₁=8-4

3

，
∴M₁ 的坐標(biāo)是（8-4

3

，0）
②連結(jié)EP，
∵∠PEA=90°，
AP=4

2

，
若△APB∽△AP M₂，
則

AM

AP

=

AP

AB

，
AM=

(4 2 )2

4 3

=

8

3 3

=

8 3

3

，
OM₂=8-

8 3

3

，
∴M₂ 的坐標(biāo)是（8-

8 3

3

，0）
則點(diǎn)M的坐標(biāo)是M₁ （8-4

3

，0），M₂ （8-

8 3

3

，0）．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)綜合題，用到的知識點(diǎn)是待定系數(shù)法求拋物線的解析式、中垂線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，要注意分類思想的應(yīng)用，不要漏解．