Question

如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過點(diǎn)O(0，0)、A(2，0)、B(6，3)．

(1)直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時(shí)向上平移，分別交拋物線于點(diǎn)O₁、A₁、C₁、B₁，得到如圖2的梯形O₁A₁B₁C₁．設(shè)梯形O₁A₁B₁C₁的面積為S，A₁、B₁的坐標(biāo)分別為(x₁，y₁)、(x₂，y₂)．用含S的代數(shù)式表示x₂－x₁，并求出當(dāng)S＝36時(shí)點(diǎn)A₁的坐標(biāo)；

(3)在圖1中，設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(1，3)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿著線段BC運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以與點(diǎn)P相同的速度沿著線段DM運(yùn)動(dòng)．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)M時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，是否存在某一時(shí)刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)對稱軸：直線　1分 　　解析式：或　2分 　　頂點(diǎn)坐標(biāo)：M(1，)　3分 　　(2)由題意得 　　3　1分 　　得：①　2分 　　　得：②　3分 　　把②代入①并整理得：(S＞0)(事實(shí)上，更確切為S＞6)4分 　　當(dāng)時(shí)，解得：(注：S＞0或S＞6不寫不扣分) 　　把代入拋物線解析式得 　　∴點(diǎn)A1(6，3)　5分 　　(3)存在　1分 　　解法一：易知直線AB的解析式為，可得直線AB與對稱軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)為 　　∴BD＝5，DE＝，DP＝5－t，DQ＝t 　　當(dāng)∥時(shí)， 　　 　　得　2分 　　下面分兩種情況討論：設(shè)直線PQ與直線AB、x軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)F、G 　�、佼�(dāng)時(shí)，如圖 　　∵△FQE∽△FAG 　　∴∠FGA＝∠FEQ 　　∴∠DPQ＝∠DEB　易得△DPQ∽△DEB 　　∴ 　　∴ 　　得 　　∴(舍去)　3分 　　②當(dāng)時(shí)，如圖 　　∵△FQE∽△FAG 　　∴∠FAG＝∠FQE 　　∵∠DQP＝∠FQE　∠FAG＝∠EBD 　　∴∠DQP＝∠DBE　易得△DPQ∽△DEB 　　∴∴，∴ 　　∴當(dāng)秒時(shí)，使直線、直線、x軸圍成的三角形與直線、直線、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似　4分　(注：未求出能得到正確答案不扣分) 　　解法二：可將向左平移一個(gè)單位得到，再用解法一類似的方法可求得，， 　　∴　，