Question

如圖，點(diǎn)A、B、F在⊙O上，∠AFB=30°，OB的延長線交直線AD于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BC⊥AD于C，∠CBD=60°，連接AB．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若AB=6，求陰影部分的面積．

Answer 1

（1）證明：如圖，連接OA，
∵∠AFB=30°，點(diǎn)F在⊙O上，
∴∠AOB=60°．
∵∠CBD=60°，
∴∠CBD=∠AOB．
∴OA∥BC．
又∵BC⊥AD，
∴OA⊥AD．
∵點(diǎn)A在⊙O上，
∴AD是⊙O的切線．

（2）解：∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴△OAB是等邊三角形．
∵AB=6，
∴OA=AB=6．
∴tan∠AOD=．
∴AD=6•tan60°=．
∴S_△OAD=××6=．
∵S_扇形AOB==6π，
∴S_陰影=-6π．
分析：（1）連接OA，只要證明OA⊥AD即可．
（2）根據(jù)S_陰影=S_△OAD-S_扇形AOB進(jìn)行計(jì)算即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．