Question

如圖所示，AB是圓中的一條弦，C是圓上（不同于A、B）的點，過B的切線與AC的延長線交于P點，Q是

AC

的中點，BQ與AC交于點D，已知PC=1，PD=

3

，則PA=

 

．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：計算題

分析：連接OB，OQ，延長QO交AC于H，如圖，Q是

AC

的中點，根據(jù)垂徑定理的推論得OQ⊥AC，則∠HQB+∠HDQ=90°，而對頂角相等得∠PDB=∠HDQ，所以∠HQB+∠PDB=90°，再根據(jù)切線的性質(zhì)得OB⊥PB，則∠PBH+∠QBO=90°，加上∠OQB=∠OBQ，所以∠PDB=∠PBD，于是得到PB=PC=

3

，然后根據(jù)切割線定理計算PA的長．

解答：解：連接OB，OQ，延長QO交AC于H，如圖，
∵Q是

AC

的中點，
∴OQ⊥AC，
∴∠HQB+∠HDQ=90°，
而∠PDB=∠HDQ，
∴∠HQB+∠PDB=90°，
∵PB為⊙O的切線，
∴OB⊥PB，
∴∠PBH+∠QBO=90°，
∵OQ=OB，
∴∠OQB=∠OBQ，
∴∠PDB=∠PBD，
∴PB=PC=

3

，
∵PB為⊙O的切線，
∴PB²=PC•PA，
∴PA=

PB2

PC

=3．
故答案為3．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點；經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．也考查了垂徑定理和切割線定理．