Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y=kx+5與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與拋物線(xiàn)y=ax²+bx交于點(diǎn)C、D．已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，7），點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為5．
（1）求直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的解析式；
（2）將此拋物線(xiàn)沿對(duì)稱(chēng)軸向下平移幾個(gè)單位，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)AB只有一個(gè)交點(diǎn)？

Answer 1

（1）把點(diǎn)C的坐標(biāo)（1，7）代入y=kx+5得，7=k+5，
解得k=2，
∴y=2x+5，
把x=5代入y=2x+5，得y=15，
∴D（5，15）．
把C（1，7）、D（5，15）代入y=ax²+bx，得a=-1，b=8，
∴y=-x²+8x；

（2）拋物線(xiàn)y=-x²+8x的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，16），對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=4，
設(shè)向下平移后的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，k），
所以，平移后的拋物線(xiàn)的解析式為y=-（x-4）²+k，
與直線(xiàn)y=2x+5聯(lián)立消掉y得，-（x-4）²+k=2x+5，
整理得，x²-6x+21-k=0，
∵拋物線(xiàn)與直線(xiàn)AB只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴△=b²-4ac=36-4（21-k）=0，
解得k=12，
16-12=4，
所以，此拋物線(xiàn)沿著對(duì)稱(chēng)軸向下平移4個(gè)單位．