Question

如圖，正方形OABC的面積為9，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C上y軸上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0，x＞0）的圖象上，點(diǎn)E從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)E作x的垂線，交反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0，x＞0）的圖象于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F；記矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面積為S，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求該反比例函數(shù)的解析式．
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；并求當(dāng)S=

9

2

時(shí)，對應(yīng)的t值．
（3）在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在一個(gè)t值，使△FBO為等腰三角形？若有，有幾個(gè)，寫出t值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)綜合題,動(dòng)點(diǎn)型,存在型,數(shù)形結(jié)合,分類討論,方程思想

分析：（1）由正方形OABC的面積為9，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（3，3），繼而可求得該反比例函數(shù)的解析式．
（2）由題意得P（t，

9

t

），然后分別從當(dāng)點(diǎn)P₁在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，S=t•（

9

t

-3）=-3t+9與當(dāng)點(diǎn)P₂在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，則S=（t-3）•

9

t

=9-

27

t

去分析求解即可求得答案；
（3）分別從OB=BF，OB=OF，OF=BF去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵正方形OABC的面積為9，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（3，3），
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0，x＞0）的圖象上，
∴3=

k

3

，
即k=9，
∴該反比例函數(shù)的解析式為：y=

9

x

（x＞0）；

（2）根據(jù)題意得：P（t，

9

t

），
分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P₁在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，S=t•（

9

t

-3）=-3t+9（0≤t≤3）；
若S=

9

2

，
則-3t+9=

9

2

，
解得：t=

3

2

；
②當(dāng)點(diǎn)P₂在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，則S=（t-3）•

9

t

=9-

27

t

；
若S=

9

2

，則9-

27

t

=

9

2

，
解得：t=6；
∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S=-3t+9（0≤t≤3）；S=9-

27

t

（t＞3）；
當(dāng)S=

9

2

時(shí)，對應(yīng)的t值為

3

2

或6；

（3）存在．
若OB=BF=3

2

，此時(shí)CF=BC=3，
∴OF=6，
∴6=

9

t

，
解得：t=

3

2

；
若OB=OF=3

2

，則3

2

=

9

t

，
解得：t=

3 2

5

；
若BF=OF，此時(shí)點(diǎn)F與C重合，t=3；
∴當(dāng)t=

3

2

或

3 2

5

或3時(shí)，使△FBO為等腰三角形．

點(diǎn)評：此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．