Question

探究一：如圖1，∠FDC，∠ECD為△ADC的兩個(gè)外角，則∠A與∠FDC+∠ECD的數(shù)量關(guān)系

 

．
探究二：如圖2，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，則∠P與∠A的數(shù)量關(guān)系

 

．
探究三：如圖3，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，則∠P與∠A+∠B的數(shù)量關(guān)系是

 

．

探究四：若將上題中的四邊形ABCD改為六邊形ABCDEF呢？則∠P與∠A+∠B+∠E+∠F的數(shù)量關(guān)系

 

．
探究五：如圖，四邊形ABCD中，∠F為四邊形ABCD的角平分線及外角∠DCE的平分線所在的直角構(gòu)成的銳角，設(shè)∠A=α，∠D=β；
（1）如圖4，α+β＞180°，則∠F=

 

；（用α，β表示）
（2）如圖5，α+β＜180°，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出∠F，且∠F=

 

；（用α，β表示）
（3）一定存在∠F嗎？如有，直接寫出∠F的值；如不一定，請(qǐng)直接指出α，β滿足什么條件時(shí)，∠F不一定存在．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的外角性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理

專題：

分析：探究一：根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和表示出∠FDC、∠ECD，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理整理即可得解；
探究二：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理用∠A表示出∠ADC+∠ACD，再根據(jù)角平分線的定義表示出∠PDC+∠PCD，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解；
探究三：根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理用∠A+∠B表示出∠ADC+∠BCD，再根據(jù)角平分線的定義表示出∠PDC+∠PCD，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解；
探究四：根據(jù)六邊形的內(nèi)角和定理表示出∠BCD+∠CDE，再根據(jù)角平分線的定義表示出∠PDC+∠PCD，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解；
探究五：（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根據(jù)角平分線的定義可得∠FBC=

1

2

∠ABC，∠FCE=

1

2

∠DCE，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠F+∠FBC=∠FCE，然后整理即可得解；
（2）同（1）的思路求解即可；
（3）根據(jù)∠F的表示，∠F為0時(shí)不存在．

解答：解：探究一：由三角形的外角性質(zhì)得，∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，
∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC，
∵∠A+∠ADC+∠ACD=180°，
∴∠FDC+∠ECD=180°+∠A；

探究二：由三角形內(nèi)角和定理得，∠A+∠ADC+∠ACD=180°，
∴∠ADC+∠ACD=180°-∠A，
∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC+∠PCD=

1

2

（∠ADC+∠ACD）=

1

2

（180°-∠A），
∴∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A，
即∠P=90°+

1

2

∠A；

探究三：由四邊形內(nèi)角和定理得，∠ADC+∠BCD=360°-（∠A+∠B）=360°-∠A-∠B，
∵DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC+∠PCD=

1

2

（∠ADC+∠ACD）=

1

2

（360°-∠A-∠B），
∴∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=180°-

1

2

（360°-∠A-∠B）=

1

2

（∠A+∠B），
即∠P=

1

2

（∠A+∠B）；

探究四：若改成六邊形，則∠BCD+∠CDE=（6-2）•180°-（∠A+∠B+∠E+∠F）=720°-（∠A+∠B+∠E+∠F），
由角平分線的定義得，∠PDC+∠PCD=

1

2

（∠BCD+∠CDE）=

1

2

（720°-∠A-∠B-∠E-∠F），
∴∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=180°-

1

2

（720°-∠A-∠B-∠E-∠F）=

1

2

（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°，
即∠P=

1

2

（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°；

探究五：（1）由四邊形內(nèi)角和定理得，∠BCD=360°-∠A-∠D-∠ABC，
∴∠DCE=180°-（360°-∠A-∠D-∠ABC）=∠A+∠D+∠ABC-180°，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠DCE=∠A+∠D+∠ABC，∠FCE=∠F+∠FBC，
∵BF、CF分別是∠ABC和∠DCE的平分線，
∴∠FBC=

1

2

∠ABC，∠FCE=

1

2

∠DCE，
∴∠F+∠FBC=

1

2

（∠A+∠D+∠ABC-180°）=

1

2

（∠A+∠D）+

1

2

∠ABC-90°，
∴∠F=

1

2

（∠A+∠D）-90°，
∵∠A=α，∠D=β，
∴∠F=

1

2

（α+β）-90°；
（2）同（1）可求，∠F=90°-

1

2

（α+β）；
（3）∠F不一定存在，當(dāng)α+β=180°時(shí)，∠F=0，不存在．
故答案為：∠FDC+∠ECD=180°+∠A；∠P=90°+

1

2

∠A；∠P=

1

2

（∠A+∠B）；∠P=

1

2

（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°；

1

2

（α+β）-90°；90°-

1

2

（α+β）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，讀懂題目信息是解題的關(guān)鍵，要注意整體思想的利用．