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【題目】如圖1,在RtABC中,∠ACB90°,點D是邊AB的中點,點E在邊BC上,AEBE,點MAE的中點,聯結CM,點G在線段CM上,作∠GDN=∠AEB交邊BCN

1)如圖2,當點G和點M重合時,求證:四邊形DMEN是菱形;

2)如圖1,當點G和點M、C不重合時,求證:DGDN

【答案】(1)見解析;(2)見解析

【解析】

本題主要考查菱形及全等三角形的應用

(1)先由MD為BE的中位線,可證MD∥EN且MD=BE,又∠GDN+∠DNE=180°,可證四邊形MDNE為平行四邊形,從而可證平行四邊形DMEN為菱形

(2)取BE中點F,連接DM,DF,利用(1)的結論可證△DMG≌△DFN,即可得出答案

證明:(1)如圖2中,

∵AM=ME.AD=DB,

∴DM∥BE,

∴∠GDN+∠DNE=180°,

∵∠GDN=∠AEB,

∴∠AEB+∠DNE=180°,

∴AE∥DN,

∴四邊形DMEN是平行四邊形,

,

∴DM=EM,

∴四邊形DMEN是菱形.

(2)如圖1中,取BE的中點F,連接DM、DF.

由(1)可知四邊形EMDF是菱形,

∴∠AEB=∠MDF,DM=DF,

∴∠GDN=∠AEB,

∴∠MDF=∠GDN,

∴∠MDG=∠FDN,

∵∠DFN=∠AEB=∠MCE+∠CME,∠GMD=∠EMD+∠CME,、

在Rt△ACE中,∵AM=ME,

∴CM=ME,

∴∠MCE=∠CEM=∠EMD,

∴∠DMG=∠DFN,

∴△DMG≌△DFN,

∴DG=DN.

練習冊系列答案
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; ; ;

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