【題目】我們知道,任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解:n=p×q(p,q是正整數(shù),且p≤q),在n的所有這種分解中,如果p,q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小,我們就稱p×q是n的最佳分解.并規(guī)定:F(n)= . 例如12可以分解成1×12,2×6或3×4,因?yàn)?2﹣1>6﹣2>4﹣3,所以3×4是12的最佳分解,所以F(12)=
(Ⅰ)如果一個(gè)正整數(shù)m是另外一個(gè)正整數(shù)n的平方,我們稱正整數(shù)m是完全平方數(shù).
求證:對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m,總有F(m)=1;
(Ⅱ)如果一個(gè)兩位正整數(shù)t,t=10x+y(1≤x≤y≤9,x,y為自然數(shù)),交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為36,那么我們稱這個(gè)數(shù)t為“吉祥數(shù)”,求所有“吉祥數(shù)”;
(Ⅲ)在(2)所得“吉祥數(shù)”中,求F(t)的最大值.

【答案】解:(Ⅰ)證明:對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m,設(shè)m=n2(n為正整數(shù)), ∵|n﹣n|=0,
∴n×n是m的最佳分解,
∴對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m,總有F(m)= =1;
(Ⅱ)設(shè)交換t的個(gè)位上數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t′,則t′=10y+x,
∵t是“吉祥數(shù)”,
∴t′﹣t=(10y+x)﹣(10x+y)=9(y﹣x)=36,
∴y=x+4,
∵1≤x≤y≤9,x,y為自然數(shù),
∴滿足“吉祥數(shù)”的有:15,26,37,48,59;
(Ⅲ)F(15)= ,F(xiàn)(26)= ,F(xiàn)(37)= ,F(xiàn)(48)= = ,F(xiàn)(59)=
,
∴所有“吉祥數(shù)”中,F(xiàn)(t)的最大值為
【解析】(Ⅰ)對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m,設(shè)m=n2(n為正整數(shù)),找出m的最佳分解,確定出F(m)的值即可; (Ⅱ)設(shè)交換t的個(gè)位上數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t′,則t′=10y+x,根據(jù)“吉祥數(shù)”的定義確定出x與y的關(guān)系式,進(jìn)而求出所求即可;
(Ⅲ)利用“吉祥數(shù)”的定義分別求出各自的值,進(jìn)而確定出F(t)的最大值即可.
【考點(diǎn)精析】掌握因式分解的應(yīng)用是解答本題的根本,需要知道因式分解是整式乘法的逆向變形,可以應(yīng)用與數(shù)字計(jì)算、求值、整除性問題、判斷三角形的形狀、解方程.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,ABAC,AB的垂直平分線MNAC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E

1)若∠A40°,求∠DBC的度數(shù);

2)若AE6,△CBD的周長(zhǎng)為20,求BC的長(zhǎng).

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=x,點(diǎn)O1的坐標(biāo)為(1,0),以O(shè)1為圓心,O1O為半徑畫圓,交直線l于點(diǎn)P1 , 交x軸正半軸于點(diǎn)O2 , 以O(shè)2為圓心,O2O為半徑畫圓,交直線l于點(diǎn)P2 , 交x軸正半軸于點(diǎn)O3 , 以O(shè)3為圓心,O3O為半徑畫圓,交直線l于點(diǎn)P3 , 交x軸正半軸于點(diǎn)O4;…按此做法進(jìn)行下去,其中 的長(zhǎng)為

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【題目】根據(jù)要求,解答下列問題.

1)解方程組:

2)解下列方程組,只寫出最后結(jié)果即可:;

3)以上每個(gè)方程組的解中,x值與y值有怎樣的大小關(guān)系?

4)觀察以上每個(gè)方程組的外形特征,請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)具有此特征的方程組,并用(3)中的結(jié)論快速求出其解.

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【題目】如圖1,在RtABC中,∠ACB90°,點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊BC上,AEBE,點(diǎn)MAE的中點(diǎn),聯(lián)結(jié)CM,點(diǎn)G在線段CM上,作∠GDN=∠AEB交邊BCN

1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)G和點(diǎn)M重合時(shí),求證:四邊形DMEN是菱形;

2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)G和點(diǎn)M、C不重合時(shí),求證:DGDN

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【題目】一個(gè)點(diǎn)到圓的最小距離為4cm,最大距離為9cm,則該圓的半徑是( 。
A.2.5 cm或6.5 cm
B.2.5 cm
C.6.5 cm
D.5 cm或13cm

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【題目】在正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度,ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的位置如圖所示.現(xiàn)將ABC平移,使點(diǎn)A變換為點(diǎn)D,點(diǎn)E、F分別是B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

(1)請(qǐng)畫出平移后的DEF,并求DEF的面積;

(2)若連接AD、CF,則這兩條線段之間的關(guān)系是________________ .

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【題目】如圖,P為正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn),EF⊥AC且交AD于E,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接CE和AG.
(1)求證:△ADG≌△CDE;
(2)當(dāng)CE平分∠ACD時(shí),求tan∠AGD.

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【題目】如圖:已知A(0,-2),B(-2,1),C(3,2)

(1)求線段ABBCAC的長(zhǎng);

(2)把A、BC三點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都乘以2,得到AB、C的坐標(biāo),AB、BC、AC的長(zhǎng);

(3)以上六條線段成比例嗎?

(4)ABCABC的形狀相同嗎?

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