【題目】已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),分別以AC、BC為邊在線段AB同側(cè)作△ACD和△BCE,且CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,直線AE與BD交于點(diǎn)F,
(1)如圖1,若∠ACD=60°,則∠AFB= ;如圖2,若∠ACD=90°,則∠AFB= ;如圖3,若∠ACD=120°,則∠AFB= ;
(2)如圖4,若∠ACD=α,則∠AFB= (用含α的式子表示);
(3)將圖4中的△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度(交點(diǎn)F至少在BD、AE中的一條線段上),變成如圖5所示的情形,若∠ACD=α,則∠AFB與α的有何數(shù)量關(guān)系?并給予證明.
【答案】(1)120°,90°,60°;(2)180°﹣α;(3)∠AFB=180°﹣α,證明詳見解析.
【解析】
(1)如圖1,證明△ACE≌△DCB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠EAC=∠BDC,再根據(jù)∠AFB是△ADF的外角求出其度數(shù)即可;如圖2,證明△ACE≌△DCB,得出∠AEC=∠DBC,又有∠FDE=∠CDB,進(jìn)而得出∠AFB=90°;如圖3,證明△ACE≌△DCB,得出∠EAC=∠BDC,又有∠BDC+∠FBA=180°-∠DCB得到∠FAB+∠FBA=120°,進(jìn)而求出∠AFB=60°;(2)由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB,再由三角形的內(nèi)角和定理得∠CAE=∠CDB,從而得出∠DFA=∠ACD,得到結(jié)論∠AFB=180°-α;(3)由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB,通過證明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA,由三角形內(nèi)角和定理得到結(jié)論∠AFB=180°-α.
解:(1)如圖1,CA=CD,∠ACD=60°,
所以△ACD是等邊三角形.
∵CB=CE,∠ACD=∠BCE=60°,
所以△ECB是等邊三角形.
∵AC=DC,∠ACE=∠ACD+∠DCE,∠BCD=∠BCE+∠DCE,
又∵∠ACD=∠BCE,
∴∠ACE=∠BCD.
∵AC=DC,CE=BC,
∴△ACE≌△DCB.
∴∠EAC=∠BDC.
∠AFB是△ADF的外角.
∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°.
如圖2,∵AC=CD,∠ACE=∠DCB=90°,EC=CB,
∴△ACE≌△DCB.
∴∠AEC=∠DBC,
又∵∠FDE=∠CDB,∠DCB=90°,
∴∠EFD=90°.
∴∠AFB=90°.
如圖3,∵∠ACD=∠BCE,
∴∠ACD﹣∠DCE=∠BCE﹣∠DCE.
∴∠ACE=∠DCB.
又∵CA=CD,CE=CB,
∴△ACE≌△DCB.
∴∠EAC=∠BDC.
∵∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB=180°﹣(180﹣∠ACD)=120°,
∴∠FAB+∠FBA=120°.
∴∠AFB=60°.
故填120°,90°,60°.
(2)∵∠ACD=∠BCE,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE.
∴∠ACE=∠DCB.
∴∠CAE=∠CDB.
∴∠DFA=∠ACD.
∴∠AFB=180°﹣∠DFA=180°﹣∠ACD=180°﹣α.
(3)∠AFB=180°﹣α;
證明:∵∠ACD=∠BCE=α,則∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
即∠ACE=∠DCB.
在△ACE和△DCB中,
則△ACE≌△DCB(SAS).
則∠CBD=∠CEA,由三角形內(nèi)角和知∠EFB=∠ECB=α.
∠AFB=180°﹣∠EFB=180°﹣α.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC 中,AB=AC=6cm,∠B=∠C,BC=4cm,點(diǎn) D 為 AB的中點(diǎn).
(1)如果點(diǎn) P 在線段 BC 上以 1cm/s 的速度由點(diǎn) B 向點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn) Q 在線段 CA 上由點(diǎn) C 向點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng).
①若點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)速度相等,經(jīng)過 1 秒后,△BPD 與△CQP 是否全等,請(qǐng)說明理由;
②若點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)速度不相等,當(dāng)點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí),能夠使△BPD 與△CQP 全等?
(2)若點(diǎn) Q 以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn) C 出發(fā),點(diǎn) P 以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn) B 同時(shí)出發(fā),都逆時(shí)針沿△ABC 三邊運(yùn)動(dòng),則經(jīng)過 后,點(diǎn) P 與點(diǎn) Q 第一次在△ABC 的 邊上相遇?(在橫線上直接寫出答案,不必書寫解題過程)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩支清雪隊(duì)同時(shí)開始清理某路段積雪,一段時(shí)間后,乙隊(duì)被調(diào)往別處,甲隊(duì)又用了3小時(shí)完成了剩余的清雪任務(wù),已知甲隊(duì)每小時(shí)的清雪量保持不變,乙隊(duì)每小時(shí)清雪50噸,甲、乙兩隊(duì)在此路段的清雪總量y(噸)與清雪時(shí)間x(時(shí))之間的函數(shù)圖象如圖所示.
(1)乙隊(duì)調(diào)離時(shí),甲、乙兩隊(duì)已完成的清雪總量為噸;
(2)求此次任務(wù)的清雪總量m;
(3)求乙隊(duì)調(diào)離后y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】感知:如圖①,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,正方形CDEF的頂點(diǎn)D,F(xiàn)分別在邊AC,BC上,易證:AD=BF(不需要證明);
(1)探究:將圖①的正方形CDEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°),連接AD,BF,其他條件不變,如圖②,求證:AD=BF;
(2)應(yīng)用:若α=45°,CD= ,BE=1,如圖③,則BF= .
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,半徑為5的⊙A中,弦BC,ED所對(duì)的圓心角分別是∠BAC,∠EAD,已知DE=6,∠BAC+∠EAD=180°,則圓心A到弦BC的距離等于 .
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn),且∠MPN與∠AOB互補(bǔ),若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中,其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn),則以下結(jié)論:(1)PM=PN恒成立;(2)OM+ON的值不變;(3)四邊形PMON的面積不變;(4)MN的長不變,其中正確的個(gè)數(shù)為( 。
A. 4B. 3C. 2D. 1
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰三角形底邊的長為,面積是,腰的垂直平分線分別交于點(diǎn),若為底邊邊上的中點(diǎn),點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn),則的周長最小值是多少?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+1=0有實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是( )
A.m
B.m>1
C.m<1
D.m 且m≠1
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,D、E、 F分別是△ABC的三邊的延長線上一點(diǎn),且AB=BF,BC=CD,AC=AE,=5cm2,則的值是( )
A. 15 cm2 B. 20 cm2 C. 30 cm2 D. 35 cm2
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com