Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點D，切線DE⊥AC，垂足為點E．
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）若AB=6，求DE的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OD，根據(jù)平行線分線段成比例定理，以及圓周角定理，即可證明CD是AB的中垂線，即可證得BC=AC，進而即可證得；
（2）在直角△ADE中，利用等邊三角形的性質(zhì)即可求得AD，根據(jù)：△ABC是等邊三角形，即可求得半徑，從而求解．

解答：（1）證明：連接OD．CD，則OD⊥DE，
又∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∵OB=OC，
∴AD=BD，
∵BC是直徑，
∴CD⊥AB，
∴BC=AC，
又∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
即△ABC是等邊三角形；

（2）解：在直角△ADE中，∠A=60°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，
∵BC是⊙O的直徑，
∴AB⊥CD，
∴AD=CD=

1

2

AB=3，
∴DE=AD•sin60°=3×

3

2

=

3 3

2

．

點評：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關問題．