Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（-m，0）和點B（0，2m）（m＞0），點C在x軸上（不與點A重合）
（1）當△BOC與△AOB相似時，請直接寫出點C的坐標（用m表示）
（2）當△BOC與△AOB全等時，二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過A、B、C三點，求m的值，并求點C的坐標
（3）P是（2）的二次函數(shù)圖象上的一點，∠APC=90°，求點P的坐標及∠ACP的度數(shù)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）分類討論：△BOC∽△BOA，△BOC∽△AOB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得C點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得a的值可得p點坐標，分類討論：當點P的坐標為（

3

，1）時，根據(jù)正弦函數(shù)據(jù)，可得∠COP的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形得到性質(zhì)，可得答案； 當點P的坐標為（-

3

，1）時，根據(jù)正弦函數(shù)據(jù)，可得∠AOP的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得答案．

解答：解：（1）點C的坐標為（m，0）或（4m，0）．或（-4m，0）；
（2）當△BOC與△AOB全等時，點C的坐標為（m，0），
二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過A、B、C三點，

c=2m -m2-mb+c=0 -m2+mb+c=0

，解得

b=0 c=4 m=2

．
二次函數(shù)解析式為y=-x²+4，點C的坐標為（2，0）；
（3）作PH⊥AC于H，設(shè)點P的坐標為（a，-a²+4），
∵∠AHP=∠PHC=90°，∠APH=∠PCH=90°-∠CPH，
∴△APH∽△PCH，∴

AH

PH

=

PH

CH

，
即PH²=AH•CH，
（-a²+4）²=（a+2）（2-a）．
解得a=

3

，或a=-

3

，即P（

3

，1）或（-

3

，1），
如圖：

當點P₁的坐標為（

3

，1）時，OP₁=2=OC，sin∠P₁OE=

P1E

P1O

=

1

2

∴∠COP=30°，∴∠ACP=

180°-∠POC

2

=75°
當點P的坐標為（-

3

，1）時，sin∠P₂OF=

P2F

P2O

=

1

2

，∠P₂OF=30°．
由三角形外角的性質(zhì)，得∠P₂OF=2∠ACP，即∠ACP=15°．

點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）利用了相似三角形的性質(zhì)，分類討論是解題關(guān)鍵；（2）利用全等三角形的性質(zhì)，解三元一次方程組；（3）利用了相似三角形的性質(zhì)，分類討論是解題關(guān)鍵，正弦函數(shù)及等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．