【題目】如圖(1),已知正方形ABCD在直線MN的上方,BC在直線MN上,E是BC上一點(diǎn),以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG.
(1)連接GD,求證:△ADG≌△ABE;
(2)連接FC,觀察并猜測∠FCN的度數(shù),并說明理由;
(3)如圖(2),將圖(1)中正方形ABCD改為矩形ABCD,AB=a,BC=b(a、b為常數(shù)),E是線段BC上一動點(diǎn)(不含端點(diǎn)B、C),以AE為邊在直線MN的上方作矩形AEFG,使頂點(diǎn)G恰好落在射線CD上.判斷當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動時(shí),∠FCN的大小是否總保持不變?若∠FCN的大小不變,請用含a、b的代數(shù)式表示tan∠FCN的值;若∠FCN的大小發(fā)生改變,請舉例說明.
【答案】(1)見解析;(2)45°;(3).
【解析】試題分析:
(1)由正方形的性質(zhì),用SAS證明△BAE≌△DAG;
(2)作FH⊥MN于H,證明△EFH≌△ABE,再證△CHF是等腰直角三角形;
(3)結(jié)合(1)(2),可證明△EFH≌△GAD,△EFH∽△ABE,再用相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論.
試題解析:
(1)證明:∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形,
∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°,
∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD,
∴∠BAE=∠DAG,
∴△BAE≌△DAG.
(2)解:∠FCN=45°,
理由是:作FH⊥MN于H,
∵∠AEF=∠ABE=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°,∠FEH+∠AEB=90°,
∴∠FEH=∠BAE,
又∵AE=EF,∠EHF=∠EBA=90°,
∴△EFH≌△ABE,
∴FH=BE,EH=AB=BC,
∴CH=BE=FH,
∵∠FHC=90°,
∴∠FCN=45°.
(3)解:當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動時(shí),∠FCN的大小總保持不變,
理由是:作FH⊥MN于H,
由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°,
結(jié)合(1)(2)得∠FEH=∠BAE=∠DAG,
又∵G在射線CD上,
∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°,
∴△EFH≌△GAD,△EFH∽△ABE,
∴EH=AD=BC=b,
∴CH=BE,
∴;
在Rt△FEH中,tan∠FCN=,
∴當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動時(shí),∠FCN的大小總保持不變,tan∠FCN=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某一工程,在工程招標(biāo)時(shí),接到甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書.施工一天,需付甲工程隊(duì)工程款2.4萬元,乙工程隊(duì)工程款1萬元.工程領(lǐng)導(dǎo)小組根據(jù)甲,乙兩隊(duì)的投標(biāo)書測算,有如下方案:
(1)甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程剛好如期完成;
(2)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要比規(guī)定日期多用12天;
(3)若甲,乙兩隊(duì)合做6天,余下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做也正好如期完成.
試問:在不耽誤工期的前提下,你覺得哪一種施工方案最節(jié)省工程款?請說明理由.
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【題目】E、F是線段AB上的兩點(diǎn),且AB=16,AE=1,BF=3,點(diǎn)G是線段EF上的一動點(diǎn),分別以AG、BG為斜邊在AB同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形,直角頂點(diǎn)分別為D、C,如圖所示,連接CD并取中點(diǎn)P,連結(jié)PG,點(diǎn)G從E點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動到F點(diǎn),則線段PG掃過的圖形面積為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(a),木桿EB與FC平行,木桿的兩端B,C用一橡皮筋連接,現(xiàn)將圖(a)中的橡皮筋拉成下列各圖的形狀,試解答下列各題:
(1)探究圖(b)、(c)、(d)、(e)中,之間的數(shù)量關(guān)系,并填空;
①圖(b)中,之間的關(guān)系是________________________;
②圖(c)中,之間的關(guān)系是_________________________;
③圖(d)中,之間的關(guān)系是__________________________;
④圖(e)中,之間的關(guān)系是__________________________;
(2)探究圖(f)、(g)中,之間的數(shù)量關(guān)系,并填空:
①圖(f)中,之間的關(guān)系是________________________________;
②圖(g)中,之間的關(guān)系是________________________________;
(3)請對圖(e)的結(jié)論加以證明。
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【題目】如圖,在△ABC中,以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)G,且D是BC中點(diǎn),DE⊥AB,垂足為E,交AC的延長線于點(diǎn)F.
(1)求證:直線EF是⊙O的切線;
(2)若CF=3,cosA=0.4,求出⊙O的半徑和BE的長;
(3)連接CG,在(2)的條件下,求CG:EF的值.
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AC平分∠BAD, ∠ACD=∠ABC=90°,E、F分別為AC、CD的中點(diǎn),∠D=62°,則∠BEF的度數(shù)為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在正方形ABCD中,點(diǎn)P是對角線BD上的一點(diǎn),點(diǎn)E在AD的延長線上,且PC=PE,PE交CD于點(diǎn)F.
(1)求證:∠PCD=∠PED;
(2)連接EC,求證:EC=AP;
(3)如圖②,把正方形ABCD改成菱形ABCD,其他條件不變,當(dāng)∠DAB=60°時(shí),請直接寫出線段EC和AP的數(shù)量關(guān)系______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)題目要求解答下列各題
(1)在圖1中畫出△ABC關(guān)于Y軸對稱的△A1B1C1
(2)直接寫出△ABC關(guān)于X軸對稱的△A2B2C2的各點(diǎn)坐標(biāo).,,
(3)在圖2中的Y軸上確定點(diǎn)P的位置,使PA+PB最小
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【題目】如圖,在中,平分交邊于點(diǎn),過點(diǎn)作交邊于點(diǎn).且平分,若.
(1)求的度數(shù).
(2)求的長.
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