Question

如圖1，在直線l同側(cè)有A，E兩點
（1）通過畫圖，在直線l上找到一點P，使得AP+EP的值最�。�
（2）如圖2，分別過點A，E作AB⊥BD，ED⊥BD，C為線段BD上一動點，連接AC，EC．已知AB=9，DE=1，AE=17，設(shè)CD=x，用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長；
（3）應(yīng)用A：如圖3，若直線l是一條河流，A、E代表河流同側(cè)的兩個工廠，欲在河岸上建一供水站，供A、E兩個工廠的用水，為了節(jié)省費用，使通水管道到兩個工廠的距離之和最短；已知工廠A到河岸的距離為9千米，工廠E到河岸的距離為1千米，A、E兩個工廠之間的距離為17千米，請你求出通水管道的最短長度；
（4）應(yīng)用B：借助上面的思考過程與幾何模型，求代數(shù)式

x2+9

+

(16-x)2+81

的最小值（0＜x＜16）

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）根據(jù)軸對稱確定最短路線問題作出圖形即可；
（2）過點E作EF⊥AB于F，得到四邊形BDEF是矩形，然后求出AF，利用勾股定理列式求出EF，即為BD的長，再利用勾股定理分別表示出AC、CE，相加即可得解；
（3）構(gòu)造出直角三角形，然后求出AH、HE′，再利用勾股定理列式計算即可得解；
（4）作出圖形，根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，利用勾股定理列式求出AE′，即為最小值．

解答：解：（1）作出點E關(guān)于直線l的對稱點E′，連接AE′，AE′與l相交于P，點P即為所求作的使AP+EP的值最小的點；

（2）過點E作EF⊥AB于F，則四邊形BDEF是矩形，
∴AF=AB-BF=AB-DE=9-1=8，
在Rt△AEF中，由勾股定理得，ED=

AE2-AF2

=

172-82

=15，
∴BD=15，
∵CD=x，
∴BC=15-x，
在Rt△ABC和Rt△CDE中，AC=

AB2+BC2

=

81+(15-x)2

，
CE=

DE2+CD2

=

1+x2

，
∴AC+CE=

81+(15-x)2

+

1+x2

；

（3）由（1）（2）可知，在Rt△AHE′中，AH=AB+BH=AB+DE′=9+1=10，
HE′=BD=15，
∴AC+CE=AE′=

AH2+AE′2

=

102+152

=5

13

；

（4）由（1）（2）知，如圖BD=16，CD=x，AB=9，DE=DE′=3，BC=16-x，
AH=AB+BH=AB+DE′=9+3=12，
HE′=BD=16，
AP+PE=CE′+AC=

x2+9

+

(16-x)2+81

，
當C、C′重合時，AC+CE最小，
AP+PE=CE+AC=AE′=

122+162

=20，
∴

x2+9

+

(16-x)2+81

的最小值是20．

點評：本題考查了利用軸對稱確定最短路線問題，坐標與圖形性質(zhì)，讀懂題目信息理解代數(shù)式的幾何意義以及最小值的求解方法是解題的關(guān)鍵．