Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，O是AB上一點，以O為圓心，OA為半徑作圓與BC相切于點E，交AB于點D，連接DE，作∠DEA的平分線EF交⊙O于點F，連接AF．

（1）求證：AE平分∠BAC

（2）若sin∠EFA=，AF=，求線段AC的長

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）6.4

【解析】

（1）連接OE，根據切線的性質可得：∠BEO=∠C=90°，則OE∥AC，根據同圓的半徑相等，可解決問題；
（2）過A作AH⊥EF于H，根據三角函數先計算AH=4，證明△AEH是等腰直角三角形，則AE=AH=8，證明△AED∽△ACE，可解決問題．

（1）連接OE，

∵BC是⊙O的切線，

∴∠BEO=∠C=90°，

∴OE∥AC

∴∠CAE=∠OEA，

∵OE=OA，

∴∠OEA=∠OAE，

∴∠OAE=∠CAE，即AE平分∠BAC

（2）過A作AH⊥EF于H，

中，==

AF=

AH=

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠AED=90°，

∵EF平分∠AED，

∴∠AEF=45°，

∴△AEH是等腰直角三角形，

=8

∵===

AD=10

∵，=90°

∽

∴

∴

∴AC=6.4