Question

【題目】如圖1，已知拋物線y＝ax2+2x+c（a≠0），與y軸交于點(diǎn)A（0，6），與x軸交于點(diǎn)B（6，0）．

（1）求這條拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，若在此拋物線上有且只有三個(gè)P點(diǎn)使得△PAB的面積是定值S，求這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)及定值S．

（3）若點(diǎn)F是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)P是（2）中位于直線AB上方的點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得P、Q、B、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+6，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）；（2）點(diǎn)P'（3+3，﹣﹣3），P'（3﹣3，﹣+3），S＝；（3）存在，點(diǎn)Q（7，﹣）或（﹣1，）或（5，）．

【解析】

(1)將交點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可求解；

(2)設(shè)AB上方的拋物線上有點(diǎn)P，過點(diǎn)P作AB的平行線交對稱軸于點(diǎn)C，且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)為P，設(shè)區(qū)PC解析式與拋物線解析式組成方程組，由△＝0，可求PC解析式，可求點(diǎn)P坐標(biāo)，由等底等高的三角形面積相等，可得另兩個(gè)點(diǎn)所在直線與AB，PC都平行，且與AB的距離等于PC與AB的距離，可求P'E的解析式，即可求解；

(3)分兩種情況討論，由平行四邊形的性質(zhì)可求解．

解：(1)∵拋物線y＝ax2+2x+c（a≠0），與y軸交于點(diǎn)A（0，6），與x軸交于點(diǎn)B（6，0）．

∴

∴

∴拋物線解析式為：y＝﹣x2+2x+6，

∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）

(2)∵點(diǎn)A（0，6），點(diǎn)B（6，0），

∴直線AB解析式y＝﹣x+6，

當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4，

∴點(diǎn)D（2，4）

如圖1，設(shè)AB上方的拋物線上有點(diǎn)P，過點(diǎn)P作AB的平行線交對稱軸于點(diǎn)C，且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)為P，

設(shè)直線PC解析式為y＝﹣x+b，

∴﹣x2+2x+6＝﹣x+b，且只有一個(gè)交點(diǎn)，

∴△＝9﹣4××（b﹣6）＝0

∴b＝，

∴直線PC解析式為y＝﹣x+，

∴當(dāng)x＝2，y＝，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)（2，），

∴CD＝，

∵﹣x2+2x+6＝﹣x+，

∴x＝3，

∴點(diǎn)P（3，）

∵在此拋物線上有且只有三個(gè)P點(diǎn)使得△PAB的面積是定值S，

∴另兩個(gè)點(diǎn)所在直線與AB，PC都平行，且與AB的距離等于PC與AB的距離，

∴DE＝CD＝，

∴點(diǎn)E（2，﹣），

設(shè)P'E的解析式為y＝﹣x+m，

∴﹣＝﹣2+m，

∴m＝

∴P'E的解析式為y＝﹣x+，

∴﹣x2+2x+6＝﹣x+，

∴x＝3±3，

∴點(diǎn)P'（3+3，﹣﹣3），P'（3﹣3，﹣+3），

∴S＝×6×（﹣3）＝．

(3)設(shè)點(diǎn)Q（x，y）

若PB是對角線，

∵P、Q、B、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

∴BP與FQ互相平分，

∴

∴x＝7

∴點(diǎn)Q（7，﹣）；

若PB為邊，

∵P、Q、B、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

∴BF∥PQ，BF＝PQ，或BQ∥FP，BQ＝PF，

∴xB﹣xF＝xP﹣xQ，或xB﹣xQ＝xP﹣xF，

∴xQ＝3﹣（6﹣2）＝﹣1，或xQ＝6﹣（3﹣2）＝5，

∴點(diǎn)Q（﹣1，）或（5，）；

綜上所述，點(diǎn)Q（7，﹣）或（﹣1，）或（5，）．