Question

【題目】已知O是直線AB上一點(diǎn)，將一直角三角尺如圖QZ－13(a)放置，一直角邊ON在直線AB上，另一直角邊OM與AB所形成的∠AOM＝90°，射線OC在∠AOM內(nèi)部.

（探究）如圖(b)，將三角尺繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠AON＝∠CON時(shí)，試判斷OM是否平分∠BOC，并說明理由.

（拓展）若∠AOC＝80°時(shí)，三角尺OMN繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，每秒旋轉(zhuǎn)5°，則多少秒后，∠MOC＝∠MOB?

（延伸）在上述條件下，如圖(c)，旋轉(zhuǎn)三角尺使ON在∠BOC內(nèi)部，另一邊OM在直線AB的另一側(cè)，下面兩個(gè)結(jié)論：①∠NOC－∠BOM的值不變；②∠NOC＋∠BOM的值不變．選擇其中一個(gè)正確的結(jié)論說明理由．

Answer 1

【答案】【探究】DM平分∠BOC，理由見解析；【拓展】8秒或44秒后，∠MOC＝∠MOB；【延伸】①結(jié)論正確，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)圖形和題意得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON+∠COM=90°，再根據(jù)∠AON=∠CON，即可得出OM平分∠BOC；
（2）根據(jù)∠AOC=80゜，再分兩種情況討論，當(dāng)三角板OMN繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°時(shí)，∠MOC=∠MOB和三角板OMN繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)220°時(shí)，∠MOC=∠MOB，從而得出答案；
（3）分別求出∠NOC=100°-∠BON，∠BOM=90°-∠BON，得出∠NOC-∠BOM=10°即可．

探究:DM平分∠BOC.

理由：因?yàn)椤?/span>AON＋∠BOM＝90°，∠CON＋∠COM＝90°，∠AON＝∠CON, 　

所以∠COM＝∠BOM，

所以OM平分∠BOC.

拓展:分兩種情況：

因?yàn)椤?/span>AOC＝80°， ①當(dāng)三角尺OMN繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°時(shí)，∠MOC＝∠MOB，

所以40°÷5＝8(秒); ②當(dāng)三角尺OMN繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)220°時(shí)，∠MOC＝∠MOB，

所以220°÷5＝44(秒).

綜上所述，8秒或44秒后，∠MOC＝∠MOB.

延伸:①結(jié)論正確．理由：

因?yàn)椤?/span>NOC＝180°－∠AOC－∠BON＝100°－∠BON，∠BOM＝90°－∠BON,

所以∠NOC－∠BOM＝(100°－∠BON)－(90°－∠BON)＝10°，

所以①∠NOC－∠BOM的值不變正確．