【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=﹣1,且拋物線經(jīng)過(guò)A(1,0),C(0,3)兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)B.

(1)若直線y=mx+n經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn),求直線BC和拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸x=﹣1上找一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x=﹣1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:依題意得: ,

解之得:

∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣2x+3

∵對(duì)稱軸為x=﹣1,且拋物線經(jīng)過(guò)A(1,0),

∴把B(﹣3,0)、C(0,3)分別代入直線y=mx+n,

,

解之得: ,

∴直線y=mx+n的解析式為y=x+3


(2)

解:設(shè)直線BC與對(duì)稱軸x=﹣1的交點(diǎn)為M,則此時(shí)MA+MC的值最。

把x=﹣1代入直線y=x+3得,y=2,

∴M(﹣1,2),

即當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小時(shí)M的坐標(biāo)為(﹣1,2)


(3)

解:設(shè)P(﹣1,t),

又∵B(﹣3,0),C(0,3),

∴BC2=18,PB2=(﹣1+3)2+t2=4+t2,PC2=(﹣1)2+(t﹣3)2=t2﹣6t+10,

①若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn),則BC2+PB2=PC2即:18+4+t2=t2﹣6t+10解之得:t=﹣2;

②若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn),則BC2+PC2=PB2即:18+t2﹣6t+10=4+t2解之得:t=4,

③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn),則PB2+PC2=BC2即:4+t2+t2﹣6t+10=18解之得:t1= ,t2=

綜上所述P的坐標(biāo)為(﹣1,﹣2)或(﹣1,4)或(﹣1, ) 或(﹣1, ).


【解析】(1)先把點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得到a和b,c的關(guān)系式,再根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸方程可得a和b的關(guān)系,再聯(lián)立得到方程組,解方程組,求出a,b,c的值即可得到拋物線解析式;把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線y=mx+n,解方程組求出m和n的值即可得到直線解析式;(2)設(shè)直線BC與對(duì)稱軸x=﹣1的交點(diǎn)為M,則此時(shí)MA+MC的值最小.把x=﹣1代入直線y=x+3得y的值,即可求出點(diǎn)M坐標(biāo);(3)設(shè)P(﹣1,t),又因?yàn)锽(﹣3,0),C(0,3),所以可得BC2=18,PB2=(﹣1+3)2+t2=4+t2 , PC2=(﹣1)2+(t﹣3)2=t2﹣6t+10,再分三種情況分別討論求出符合題意t值即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,且AB為⊙O的直徑,OD⊥AB,與AC交于點(diǎn)E,與過(guò)點(diǎn)C的⊙O的切線交于點(diǎn)D.
(1)若AC=4,BC=2,求OE的長(zhǎng).
(2)試判斷∠A與∠CDE的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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【題目】陳老師和學(xué)生做一個(gè)猜數(shù)游戲,他讓學(xué)生按照如下步驟進(jìn)行計(jì)算:

①任想一個(gè)兩位數(shù)a,把a乘以2,再加上9,把所得的和再乘以2

②把a乘以2,再加上30,把所得的和除以2;

③把①所得的結(jié)果減去②所得的結(jié)果,這個(gè)差即為最后的結(jié)果.

陳老師說(shuō):只要你告訴我最后的結(jié)果,我就能猜出你最初想的兩位數(shù)a

學(xué)生周曉曉計(jì)算的結(jié)果是96,陳老師立即猜出周曉曉最初想的兩位數(shù)是31

請(qǐng)完成

1)由①可列代數(shù)式   ,由②可列代數(shù)式   ,由③可知最后結(jié)果為   ;(用含a的式子表示)

2)學(xué)生小明計(jì)算的結(jié)果是120,你能猜出他最初想的兩位數(shù)是多少嗎?

3)請(qǐng)用自己的語(yǔ)言解釋陳老師猜數(shù)的方法.

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【題目】如圖,圖中的小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形,△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為:A(-3,0),B(-1,-2),C(-2,2).

1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出ABCB點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形ABC′.

2)請(qǐng)直接寫出以A、BC為頂點(diǎn)平行四邊形的第4個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo).

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【題目】甲、乙兩人兩次同時(shí)在一家糧店購(gòu)買大米,兩次大米的價(jià)格分別為每千克a元和b元(a≠b).甲每次買100千克大米,乙每次買100元大米.

(1)用含a、b的代數(shù)式表示:甲兩次購(gòu)買大米共需付款   元,乙兩次共購(gòu)買   千克大米.若甲兩次購(gòu)買大米的平均單價(jià)為每千克Q1元,乙兩次購(gòu)買大米的平均單價(jià)為每千克Q2元.則:Q1=   ;Q2=   

(2)若規(guī)定誰(shuí)兩次購(gòu)糧的平均價(jià)格低,誰(shuí)購(gòu)糧的方式就更合理,請(qǐng)你判斷比較甲、乙兩人的購(gòu)糧方式,哪一個(gè)更合理,并說(shuō)明你的理由.

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(探究)如圖(b),將三角尺繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)當(dāng)∠AONCON時(shí),試判斷OM是否平分∠BOC并說(shuō)明理由.

(拓展)若∠AOC=80°時(shí),三角尺OMNO點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周,每秒旋轉(zhuǎn)5°,則多少秒后,MOCMOB?

(延伸)在上述條件下,如圖(c),旋轉(zhuǎn)三角尺使ON在∠BOC內(nèi)部,另一邊OM在直線AB的另一側(cè)下面兩個(gè)結(jié)論:①∠NOCBOM的值不變;②∠NOCBOM的值不變.選擇其中一個(gè)正確的結(jié)論說(shuō)明理由.

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(2)將條形圖補(bǔ)充完整,并計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中書法部分的圓心角的度數(shù);

(3)如果該校共有1000名學(xué)生參加這4個(gè)課外興趣小組,而每個(gè)教師最多只能輔導(dǎo)本組的20名學(xué)生,估計(jì)每個(gè)興趣小組至少需要準(zhǔn)備多少名教師

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