Question

如圖，點(diǎn)B、C、D都在⊙O上，過(guò)C點(diǎn)作CA∥BD交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A，連接BC，∠B=∠A=30°，BD=．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）求由線段AC、AD與弧CD所圍成的陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）

 

 

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理求出∠COA，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠OCA，根據(jù)切線的判定推出即可．

（2）求出DE，解直角三角形求出OC，分別求出△ACO的面積和扇形COD的面積根據(jù)轉(zhuǎn)換思想，由即可得出答案．

試題解析：【解析】
（1）證明：如答圖，連接OC，交BD于E，

∵∠B和∠COD是同弧所對(duì)的圓周角和圓心角，∴∠COD=2∠B．

∵∠B=30°，∴∠COD=60°．

∵∠A=30°，∴∠OCA=90°，即OC⊥AC．∴AC是⊙O的切線．

（2）∵AC∥BD，∠OCA=90°，∴∠OED=∠OCA=90°．

∵BD=，∴．

∵在Rt△ODE中，，∴OD=2．

∵在Rt△ACO中，， ∴AC=．

∴．

考點(diǎn)：1．圓周角定理；2．三角形內(nèi)角和定理；3．切線的判定；4．平行線的性質(zhì)；5．垂徑定理；6．銳角三角函數(shù)定義；7．特殊角的三角函數(shù)值；8．扇形面積和三角形面積的計(jì)算；9．轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用．