Question

如圖，直線y=2x+2交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C（3，0），請解答列問題．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，若平行于x軸的直線交拋物線于E，F(xiàn)，且EF=6，求△DEF的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：綜合題

分析：（1）對于直線y=2x+2，令x=0求出對應(yīng)的y值，確定出B的坐標(biāo)，令y=0求出對應(yīng)x的值，確定出A的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)為A和C，由A和C的坐標(biāo)設(shè)出拋物線的二根式解析式y(tǒng)=a（x+1）（x-3）（a≠0），將C的坐標(biāo)代入求出a的值，即可確定出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出頂點(diǎn)D坐標(biāo)，由EF=6，且EF與x軸平行，得到E與F關(guān)于對稱軸對稱，得到EG=FG=3，確定出F橫坐標(biāo)，將F橫坐標(biāo)代入拋物線解析式求出縱坐標(biāo)，再由D縱坐標(biāo)求出DG的長，即可確定出△DEF的面積．

解答：解：（1）對于直線y=2x+2，
令x=0，求出y=2，令y=0，求出x=-1，
∴A（-1，0），B（0，2），
又∵C（3，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）（a≠0），
將B（0，2）代入上式得：2=-3a，
解得：a=-

2

3

，
∴y=-

2

3

（x+1）（x-3）=-

2

3

x²+

4

3

x+2，即y=-

2

3

x²+

4

3

x+2；

（2）由拋物線y=-

2

3

x²+

4

3

x+2得到頂點(diǎn)D（1，

8

3

），
∵EF=6，且EF∥x軸，即EF關(guān)于對稱軸DG對稱，
∴EG=FG=3，即F橫坐標(biāo)為4，
將x=4代入得：y=-

2

3

x²+

4

3

x+2=-

32

3

+

16

3

+2=-

10

3

，
∴DG=6+

10

3

=

28

3

，
則S_△DEF=

1

2

EF•DG=28．

點(diǎn)評：此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．