Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)平面中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（20，0），點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，BO＝10，sin∠BOA＝ ．

（1）①在圖中，求作△ABO的外接圓；（尺規(guī)作圖，不寫作法但需保留作圖痕跡）;②求點(diǎn)B的坐標(biāo)與cos∠BAO的值；
（2）若A，O位置不變，將點(diǎn)B沿 軸正半軸方向平移使得△ABO為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出平移距離．

Answer 1

【答案】
（1）解：①如圖所示：

②作BH⊥OA，垂足為H，

在Rt△OHB中，∵BO=10，sin∠BOA= ，

∴BH=6，

∴OH=8，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，6），

∵OA=20，OH=8，∴AH=12，

在Rt△AHB中，∵BH=6，

∴AB= =6

∴cos∠BAO= =

（2）解：①當(dāng)BO=AB時(shí)，∵AO=20，∴OH=10，

∴點(diǎn)B沿x軸正半軸方向平移2個(gè)單位，

②當(dāng)AO=AB′時(shí)，∵AO=20，∴AB′=20，

過(guò)B′作B′N⊥x軸，

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，6），

∴B′N=6，∴AN= =2 ．

∴點(diǎn)B沿x軸正半軸方向平移（2 +12）個(gè)單位，

③當(dāng)AO=OB″時(shí)，

∵AO=20，

∴OB″=20，

過(guò)B″作B″P⊥x軸．

∵B的坐標(biāo)為（8，6），

∴B″P=6，

∴OP= =2 ，

∴點(diǎn)B沿x軸正半軸方向平移（2 ﹣8）個(gè)單位，

綜上所述當(dāng)點(diǎn)B沿x軸正半軸方向平移2個(gè)單位、（2 +12）個(gè)單位，或（2 ﹣8）個(gè)單位時(shí)，△ABO為等腰三角形

【解析】（1）作出BO和AB的垂直平分線，兩線交點(diǎn)就是外接圓圓心，以交點(diǎn)為圓心，交點(diǎn)到O的距離為半徑畫圓即可；
（2）作BH⊥OA，垂足為H首先根據(jù)sin∠BOA及BO=10計(jì)算出B點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理求出AB長(zhǎng)，可得cos∠BAO；
（3）分三種情況進(jìn)行計(jì)算，①當(dāng)BO=AB時(shí)，②當(dāng)AO=AB′時(shí)，③當(dāng)AO=OB″時(shí)，，因?yàn)辄c(diǎn)B是沿x軸正半軸方向平移，因此B點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，依次利用勾股定理求出其橫坐標(biāo)即可。