Question

如圖，已知A、B是⊙O與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，⊙O的半徑為1，P是該圓上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PA、PB分別交直線x=2于C、D兩點(diǎn)，E為線段CD的中點(diǎn)．
（1）判斷直線PE與⊙O的位置關(guān)系并說明理由；
（2）求線段CD長的最小值；
（3）若E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m，則m的范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）連接OP，設(shè)CD與x軸交于點(diǎn)F．要證PE與⊙O相切，只需證∠OPE=90°，只需證∠OPB+∠EPD=90°，由OP=OB可得∠OPB=∠OBP=∠FBD，只需證∠EPD=∠EDP，只需證EP=ED，只需利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半就可解決問題．
（2）連接OE，由于PE=

1

2

CD，要求線段CD長的最小值，只需求PE長的最小值，在Rt△OPE中，OP已知，只需求出OE的最小值就可．
（3）設(shè)⊙O與y軸的正半軸的交點(diǎn)為Q，由圖可知：點(diǎn)P從點(diǎn)Q向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)越來越小，而點(diǎn)P在點(diǎn)Q時(shí)，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1，由此就可得到m的范圍．

解答：解：（1）直線PE與⊙O相切．
證明：連接OP，設(shè)CD與x軸交于點(diǎn)F．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠APB=∠CPD=90°．
∵E為CD的中點(diǎn)，
∴PE=CE=DE=

1

2

CD，
∴∠EPD=∠EDP．
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP=∠DBF．
∵∠DBF+∠EDB=90°，
∴∠OPB+∠EPD=∠OPE=90°，
∴EP⊥OP．
∵OP為⊙O的半徑，
∴PE是⊙O的切線．

（2）連接OE，
∵∠OPE=90°，OP=1，
∴PE²=OE²-OP²=OE²-1．
∵當(dāng)OE⊥CD時(shí)，OE=OF=2，此時(shí)OE最短，
∴PE²最小值為3，即PE最小值為

3

，
∵PE=

1

2

CD，
∴線段CD長的最小值為2

3

．

（3）設(shè)⊙O與y軸的正半軸的交點(diǎn)為Q，
由圖可知：點(diǎn)P從點(diǎn)Q向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)越來越小，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q時(shí)，由PE⊥OP可得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1．
∵點(diǎn)P是圓上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴m的范圍為m＜1．
故答案為：m＜1．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定、圓周角定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理等知識(shí)，利用勾股定理將求PE的最小值轉(zhuǎn)化為求OE的最小值是解決第（2）小題的關(guān)鍵．