Question

已知AB是圓O的直徑，PB切圓O于點(diǎn)B，∠APB的平分線分別交BC、AB于點(diǎn)D、E，交圓O于點(diǎn)F，PA交圓O于點(diǎn)C，∠A=60°，線段AE、BD的長(zhǎng)是一元二次方程（k為常數(shù)）的兩個(gè)根．
（1）求證：PA•BD=PB•AE；
（2）求證：圓O的直徑為k；
（3）求tan∠FPA．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)弦切角定理和角平分線的定義發(fā)現(xiàn)兩個(gè)相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可證明；
（3）根據(jù)角平分線的定義，可以把∠FPA轉(zhuǎn)化為∠BPE，放到直角三角形BPE中，只需求得BP和BE的長(zhǎng)．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到AE•BD=2，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可以發(fā)現(xiàn)∠BED=∠BDE，得到BE=BD．再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)得到BE：AE=BD：AE=BP：AP=sin60°=．聯(lián)立兩個(gè)方程，即可求得BE、AE的長(zhǎng)，即求得AB的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念進(jìn)一步求得BP的長(zhǎng)．
解答：解：（1）∵PB切⊙O于點(diǎn)B，
∴∠PBD=∠A，又∠APE=∠BPF，
∴△PAE∽△PBD，
∴=，
即PA•BD=PB•AE．

（2）∵線段AE、BD是一元二次方程x²-kx+2=0的兩根（k為常數(shù)），
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得AE+BD=k，
∵∠BED=∠A+∠APD，
∠BDE=∠PBD+∠BPD，
∴∠BED=∠BDE，
∴BD=BE，
∴AE+BE=k，
即AB=k．

（3）∵△PAE∽△PBD，
∴BD：AE=PB：PA，
∵∠A=60°，
∴PB：PA=sin60°=，
∴BD：AE=①，
BD•AE=2②，
由①，②得，BD=，AE=2，
BP=3+2，
∴tan∠BPD=BE：BP=2-，
即tan∠FPA=2-．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合題，運(yùn)用了弦切角定理、根與系數(shù)的關(guān)系、相似三角形的性質(zhì)和判定方法．是中考?jí)狠S題，難度較大．