Question

【題目】定義：在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)到直線(xiàn)的距離與它到軸、軸的距離都相等，那么稱(chēng)點(diǎn)為直線(xiàn)的“穩(wěn)定點(diǎn)”．

（1）到軸、軸的距離相等的點(diǎn)一定在直線(xiàn)__________________上；

（2）在下圖中作出直線(xiàn)，并求出該直線(xiàn)所有“穩(wěn)定點(diǎn)”的坐標(biāo)；

（備用圖）

（3）當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的“穩(wěn)定點(diǎn)”的坐標(biāo)為__________________；

（4）當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的所有“穩(wěn)定點(diǎn)”的橫坐標(biāo)之間存在何種數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)畫(huà)圖直接說(shuō)明，無(wú)需證明．

Answer 1

【答案】（1）或；（2），，，；（3）或；（4）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由題意可得，點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)，從而求出結(jié)論；

（2）點(diǎn)P即為直線(xiàn)y=x與∠BAO的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)或直線(xiàn)y=x與

的鄰補(bǔ)角的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)或直線(xiàn)y=-x與∠BAO的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)或直線(xiàn)y=-x與的鄰補(bǔ)角的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，求出直線(xiàn)AC的解析式和第二條角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的解析式即可得出結(jié)論；

（3）求出直線(xiàn)與直線(xiàn)y=x 的交點(diǎn)或直線(xiàn)與直線(xiàn)y=-x 的交點(diǎn)即可得出結(jié)論；

（4）記四個(gè)“穩(wěn)定點(diǎn)”的橫坐標(biāo)分別為、、、，設(shè)P1、P3在直線(xiàn)y=x上P2、P4在y=-x上，＞0，＞0，＞0，＜0，如圖所示，根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解：（1）由題意可得，點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)

∴到軸、軸的距離相等的點(diǎn)一定在直線(xiàn)或直線(xiàn)

故答案為：或；

（2）如圖，由題意可得：點(diǎn)P即為直線(xiàn)y=x與∠BAO的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)或直線(xiàn)y=x與的鄰補(bǔ)角的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)或直線(xiàn)y=-x與∠BAO的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)或直線(xiàn)y=-x與的鄰補(bǔ)角的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)

直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,4）

∴OA=3，OB=4

根據(jù)勾股定理可得AB=

作出的角平分線(xiàn)，交軸于點(diǎn)．

利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得△ABC的邊AB上的高的長(zhǎng)即為OC的長(zhǎng)

∵S△ABO=S△ABC＋S△OAC

∴OA·OB=AB·OC＋OA·OC

即×3×4=×5·OC＋×3·OC

解得：OC=

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，）

設(shè)直線(xiàn)的解析式為

將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，可得

直線(xiàn)的解析式為；

再作出的鄰補(bǔ)角的角平分線(xiàn)，

同樣可求第二條角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的解析式為．

故聯(lián)立組成方程組、、、得“穩(wěn)定點(diǎn)”的，，，；

（3）由題意可得：當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的“穩(wěn)定點(diǎn)”應(yīng)為直線(xiàn)與直線(xiàn)y=x 的交點(diǎn)或直線(xiàn)與直線(xiàn)y=-x 的交點(diǎn)

故聯(lián)立組成方程組、

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或

故答案為：或；

（4）如圖，記四個(gè)“穩(wěn)定點(diǎn)”的橫坐標(biāo)分別為、、、，設(shè)P1、P3在直線(xiàn)y=x上P2、P4在y=-x上，＞0，＞0，＞0，＜0，如圖所示

∴P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）

直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0）

過(guò)點(diǎn)P3作P3A⊥x軸于A，過(guò)點(diǎn)P2作P2B⊥x軸于B，P3P4與P1P2交于點(diǎn)C

由（2）可知：兩個(gè)角平分線(xiàn)互相垂直，即P3P4⊥P1P2，

易證△P3AC∽△CBP2

∴

∴

整理，得

∵b≠0

∴

同理可得

∴．