Question

【題目】如圖，以等邊三角形ABC的BC邊為直徑畫半圓，分別交AB、AC于點E、D，DF是圓的切線，過點F作BC的垂線交BC于點G．

（1）求證：DF⊥AB；

（2）若AF的長為2，求FG的長．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）FG=3 ．

【解析】

試題分析：（1）連結OD，根據切線的性質由DF是圓的切線得∠ODF=90°，再根據等邊三角形的性質得∠C=∠A=∠B=60°，AB=AC，而OD=OC，所以∠ODC=60°=∠A，于是可判斷OD∥AB，根據平行線的性質得DF⊥AB；（2）在Rt△ADF中，由∠A=60°得到∠ADF=30°，根據含30度的直角三角形三邊的關系得AD=2AF=4，再證明OD為△ABC的中位線，則AD=CD=4，即AC=8，所以AB=8，BF=AB﹣AF=6，然后在Rt△BFG中，根據正弦的定義計算FG的長．

試題解析：（1）證明：連結OD，如圖，

∵DF是圓的切線，

∴OD⊥DF，

∴∠ODF=90°，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠C=∠A=∠B=60°，AB=AC，

而OD=OC，

∴∠ODC=60°，

∴∠ODC=∠A，

∴OD∥AB，

∴DF⊥AB；

（2）解：在Rt△ADF中，∠A=60°，

∴∠ADF=30°，

∴AD=2AF=2×2=4，

而OD∥AB，點O為BC的中點，

∴OD為△ABC的中位線，

∴AD=CD=4，即AC=8，

∴AB=8，

∴BF=AB﹣AF=6，

∵FG⊥BC，

∴∠BGF=90°，

在Rt△BFG中，sinB=sin60°= ，

∴FG=6×=3 ．