Question

【題目】閱讀下面的材料，然后解答問題：

我們新定義一種三角形，兩邊的平方和等于第三邊平方的k倍的三角形叫做“k倍三角形”(k為正實(shí)數(shù))．

（1）理解：根據(jù)“k倍三角形”的定義填空(填“銳角”、“直角”或“鈍角”)：

①當(dāng)時(shí)，k倍三角形一定是_____________三角形；

②當(dāng)時(shí)，k倍三角形一定是______________三角形．

（2）探究：當(dāng)時(shí)，已知Rt△ABC為“k倍三角形”，且，，求所有滿足條件的k值．

（3）拓展：若Rt△ABC是“k倍三角形”，且，，，.當(dāng)時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①直角；②鈍角；（2）3或2或5；（3）或．

【解析】

（1）設(shè)三角形三邊分別為a、b、c，

①當(dāng)時(shí)，可以得到，三邊滿足勾股定理即可判斷三角形為直角三角形；

②當(dāng)時(shí)，可以得到，可以判斷三角形為鈍角三角形；

（2）當(dāng)時(shí)，Rt△ABC為“k倍三角形”，由，，利用勾股定理求出第三邊，需要分情況討論：當(dāng)AB是斜邊時(shí)；當(dāng)AB是直角邊時(shí)兩種情況求解即可 ；

（3）若Rt△ABC是“k倍三角形”，根據(jù)題意可得三邊關(guān)系式，結(jié)合勾股定理得到方程組，求解即可表示的值．

（1）設(shè)三角形三邊分別為a、b、c，

①當(dāng)時(shí)，可以得到，則三角形是直角三角形，

故答案為：直角；

②當(dāng)時(shí)，可以得到，則三角形為鈍角三角形，

故答案為：鈍角；

（2）當(dāng)時(shí)，已知Rt△ABC為“k倍三角形”，且，，分以下情況：

①當(dāng)AB為斜邊時(shí)，由，

∴，解得AC=，

由，

可得：4+2=2k，

解得：k=3；

②當(dāng)AB為直角邊時(shí)，由，

∴，解得AC=，

由或者，

可得：6+2=4k，或者4+6=2k，

解得:k=2或者k=5，

綜上所述，滿足條件的k值為3或2或5；

故答案為：3或2或5；

（3）在Rt△ABC中，，

又∵k=2，

∴或，

∴聯(lián)立方程組得

或，

解得或，

∴或，

∴的值為：或，

故答案為：或．