Question

【題目】在一個(gè)三角形中，若一條邊等于另一條邊的兩倍，則稱這種三角形為“倍邊三角形”． 例如：邊長(zhǎng)為a=2，b=3，c=4的三角形就是一個(gè)倍邊三角形．

（1）如果一個(gè)倍邊三角形的兩邊長(zhǎng)為6和8，那么第三條邊長(zhǎng)所有可能的值為 ．

（2）如圖①，在△ABC中，AB=AC，延長(zhǎng)AB到D，使BD=AB，E是AB的中點(diǎn)．

求證：△DCE是倍邊三角形；

（3）如圖②，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8，若點(diǎn)D在邊AB上（點(diǎn)D不與A、B重合），且△BCD是倍邊三角形，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）3，4，12；（2）見(jiàn)解析；（3）BD=4或或或．

【解析】

試題分析：（1）直接利用倍邊三角形的定義求解即可求得答案，注意三角形的三邊關(guān)系；

（2）由已知，易證得△ACD∽△AEC，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得CD=2CE，即可證得結(jié)論；

（3）分BC=2BD、BC=2CD、BD=2CD、CD=2BD四種情況進(jìn)行解答，求出各種情況下BD的長(zhǎng)．

（1）解：∵一個(gè)倍邊三角形的兩邊長(zhǎng)為6和8，

∴第三邊可能為：3，4，12，16，

∵6+8＜16，不能組成三角形，舍去，

∴第三邊可能為：3，4，12；

故答案為：3，4，12；

（2）證明：∵BD=AB=AC，

∴AD=2AC．即=2．

∵E是AB的中點(diǎn)，

∴AB=2AE．

∴AC=2AE．即=2，

∴=．

又∵∠A=∠A，

∴△ACD∽△AEC．

∴=2．

∴△DCE是倍邊三角形．

（3）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8，

∴AB==4，

①當(dāng)BC=2BD時(shí)，BD=4；

②當(dāng)BC=2CD時(shí)，如圖①，

CD=4，作CE⊥AB于E，

tanA===2，

設(shè)AE=x，則CE=2x，AC=x，

∴x=4．x=．

∴AE=，

在△ACD中，CD=AC=4，CE⊥AB，

∴AD=2AE=．

∴BD=AB﹣AD=；

③當(dāng)BD=2CD時(shí)，如圖②，作DF⊥BC于F，

tanB===，

設(shè)DF=y，則BF=2y，BD=y，

∴CD=y，CF=y．

∵BC=BF+CF，

∴8=2y+y．

解得y=．

∴BD=；

④當(dāng)CD=2BD時(shí)，如圖③，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F，

tanB===，

設(shè)DF=z，則BF=2z，BD=z，

∴CD=2z，CF=z．

∵BC=BF+CF，

∴8=2z+z．

解得z=，

∴DF=，

∴BD=；

綜上所述，BD=4或或或．