Question

如圖，已知直線AB與x軸、y軸分別交于A和B，OA=4，且OA、OB長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2﹣mx+12=0的兩實(shí)根，以O(shè)B為直徑的⊙M與AB交于C，連接CM并延長(zhǎng)交x軸于N．

（1）求⊙M的半徑．

（2）求線段AC的長(zhǎng)．

（3）若D為OA的中點(diǎn)，求證：CD是⊙M的切線．

 

 

Answer 1

(1) ;(2) ；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）由OA、OB長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2﹣mx+12=0的兩實(shí)根，得OA•OB=12，而OA=4，所以O(shè)B=3，又由于OB為⊙M的直徑，即可得到⊙M的半徑．

（2）連接OC，根據(jù)OB是⊙M直徑，得到OC⊥BC，利用面積相等得到OC•AB=OA•OB可以求得OC的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求得AC的長(zhǎng)即可．

（3）連MD，OC，由OB為⊙M的直徑，得∠OCB=90°，則∠OCD=90°，由于D為OA的中點(diǎn)，所以CD=OA=OD，因此可證明△MCD≌△MOD，所以∠MCD=∠MOD=90°，即CD是⊙M的切線．

試題解析：（1）∵OA=4∴A（4，0）

又OA•OB長(zhǎng)是x2﹣mx+12=0的兩根

∴OA•OB=12∴OB=3 故B（0，3）

∵OB為直徑

∴半徑MB=;

（2）連接OC

∵OB是⊙M直徑

∴OC⊥BC

∴OC•AB=OA•OB

∵AB==5

∴OC•5=3•4

∴OC=

∴AC=

（3）∵OM=MC∴∠MOC=∠MCO

又CD是Rt△OCA斜邊上中線

∴DC=DO

∴∠DOC=∠DCO

∵∠DOC+∠MOC=90°

∴∠MCO+∠DCO=90°

∴DC⊥MC

∴CD是⊙M的切線

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題．