Question

如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，點P是邊AB上的一個動點(不與點A、點B重合)，點Q在邊AD上，將△CBP和△QAP分別沿PC、PQ折疊，使B點與E點重合，A點與F點重合，且P、E、F三點共線．

（1）若點E平分線段PF，則此時AQ的長為多少？

（2）若線段CE與線段QF所在的平行直線之間的距離為2，則此時AP的長為多少？

（3）在“線段CE”、“線段QF”、“點A”這三者中，是否存在兩個在同一條直線上的情況？若存在，求出此時AP的長；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

（1）；

（2）AP的長為1或3；

（3）若CE與點A在同一直線上，AP=，若CE與QF在同一直線上，AP=2．

【解析】

試題分析：（1）先畫出示意圖，由折疊知，△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE，進(jìn)而可由AB邊的關(guān)系知，若E平分FP，則BP=AB，AP=AB．由已知分析易得CP⊥QP，則△QAP∽△PBC，即由邊之間的成比例得關(guān)于AQ的方程，解出即可;

（2）由（1）易得EP=BP，F(xiàn)P=AP，PB+AP=10．線段CE與線段QF所在的平行直線之間的距離為2則表示EF=2，但有兩種可能，PF=EP+2或EP=FP+2．于是得到兩個關(guān)系式，易得結(jié)論;

（3）“線段CE”、“線段QF”、“點A”這三者，思考點P運動即折紙?zhí)攸c，QF不能與A共線．當(dāng)CE與QF共線時，P點恰為AB中點，如圖，兩線段都在CD上．當(dāng)CE與A共線時，即連接對角線AC，CE在AC上，此時△AEP∽△ABC，進(jìn)而AP的長易得．

試題解析：（1）由△CBP和△QAP分別沿PC、PQ折疊，得到△QFP和△PCE，則△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE

∴PA=PF，PB=PE，∠QPA=∠QPF，∠CPB=∠CPE．

∵EF=EP，

∴AB=AP+PB=FP+PB=EF+EP+PB=3PB．

∵AB=4，

∴PB=AB =，

∴APAB =．

∵180°=∠QPA+∠QPF+∠CPB+∠CPE=2（∠QPA+∠CPB），

∴∠QPA+∠CPB=90°．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=90°，

∴∠CPB+∠PCB=90°，

∴∠QPA=∠PCB，

∴△QAP∽△PBC，

∴，

∴，

∴；

（2）由題意，得PF=EP+2或EP=FP+2．

當(dāng)EP﹣PF=2時，

∵EP=PB，PF=AP，

∴PB﹣AP=2．

∵AP+PB=4，

∴2BP=6，

∴BP=3，

∴AP=1．

當(dāng)PF﹣EP=2時，

∵EP=PB，PF=AP，

∴AP﹣PB=2．

∵AP+PB=4，

∴2AP=6．

∴AP=3．

故AP的長為1或3；

（3）①若CE與點A在同一直線上，如圖2，連接AC，點E在AC上，

在△AEP和△ABC中，

∠APE=∠B=90°，∠EAP=∠BAC，

∴△AEP∽△ABC，

∴．

設(shè)AP=x，則EP=BP=4﹣x，

在Rt△ABC中，

∵AB=4，BC=2，

∴AC=2，

∴.

解得 ．

②若CE與QF在同一直線上，如圖3，

∵△AQP≌△EQP，△CPB≌△CPE，

∴AP=EP=BP，

∴2AP=4，

∴AP=2．

考點：四邊形綜合題．