Question

已知線段AB在第一象限內，A的坐標為（1，3），B的坐標為（5，1），若反比例函數y=

k

x

（k≠0）的圖象與線段AB有交點，則k的最大值是

 

．

Answer 1

考點：反比例函數與一次函數的交點問題

專題：計算題

分析：先利用待定系數法求出線段AB的解析式為y=-

1

2

x+

7

2

（1≤x≤5），再利用反比例函數與一次函數的交點問題得到方程組

y=- 1 2 x+ 7 2 y= k x

，消去y得到x²-7x+2k=0，由于反比例函數y=

k

x

（k≠0）的圖象與線段AB有交點，即方程組有解，則根據判別式的意義得到△=（-7）²-4•2k≥0，然后解不等式后即可得到k的最大值．

解答：解：設直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（1，3）、B（5，1）代入得

k+b=3 5k+b=1

，解得

k=- 1 2 b= 7 2

，
所以線段AB的解析式為y=-

1

2

x+

7

2

（1≤x≤5），
由

y=- 1 2 x+ 7 2 y= k x

得x²-7x+2k=0，
因為反比例函數y=

k

x

（k≠0）的圖象與線段AB有交點，
所以△=（-7）²-4•2k≥0，解得k≤

49

8

，
所以k的最大值為

49

8

．
故答案為

49

8

．

點評：本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了待定系數法求一次函數解析式．