Question

【題目】一個正整數(shù)，由N個數(shù)字組成，若它的第一位數(shù)可以被1整除，它的前兩位數(shù)可以被2整除，前三位數(shù)可以被3整除，…，一直到前N位數(shù)可以被N整除，則這樣的數(shù)叫做“精巧數(shù)”．如：123的第一位數(shù)“1”可以被1整除，前兩位數(shù)“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，則123是一個“精巧數(shù)”．

（1）若四位數(shù)是一個“精巧數(shù)”，求k的值；

（2）若一個三位“精巧數(shù)”各位數(shù)字之和為一個完全平方數(shù)，請求出所有滿足條件的三位“精巧數(shù)”．

Answer 1

【答案】（1）2或6；（2）207，225，243，261．

【解析】

（1）由四位數(shù) 是一個“精巧數(shù)”，可得1230+k是4的倍數(shù)；即可得1230+k=4n，繼而可求得答案； （2）由是“精巧數(shù)”，可得a為偶數(shù)，且2+a+b是3的倍數(shù)，且2+a+b<30，又由各位數(shù)字之和為一個完全平方數(shù)，可得2+a+b=3=9，繼而求得答案．

本題解析：

解：（1）∵四位數(shù)是一個“精巧數(shù)”，

∴1230+k是4的倍數(shù)；

即1230+k=4n，

當n=308時，k=2；

當n=309時，k=6，

∴k=2或6；

（2）∵是“精巧數(shù)”，

∴a為偶數(shù)，且2+a+b是3的倍數(shù)，

∵a＜10，b＜10，

∴2+a+b＜30，

∵各位數(shù)字之和為一個完全平方數(shù)，

∴2+a+b=32=9，

∴當a=0時，b=7，

當a=2時，b=5，

當a=4時，b=3，

當a=6時，b=1，

∴所有滿足條件的三位“精巧數(shù)”有：207，225，243，261．