Question

如圖，O為原點(diǎn)，線段OA與x軸正半軸重合，且OA=4a，四邊形OABC為正方形，以O(shè)A為直徑作⊙P，過(guò)C作⊙P的切線，切點(diǎn)為Q，延長(zhǎng)CQ交AB于D．
（1）求證：PQ²=CQ•QD；
（2）若a=1，求過(guò)O、Q、A三點(diǎn)的拋物線解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）連接CP，DP，根據(jù)CD，OC都與圓相切，得到一對(duì)直角相等，利用HL得到直角三角形PCO與直角三角形PCQ全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠CPO=∠CPQ，同理得到∠DPA=∠DPQ，利用平角的定義及等式性質(zhì)得到∠CPD=90°，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等得到三角形CPQ與三角形PQD相似，由相似得比例即可得證；
（2）將a=1代入確定出正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而確定出A坐標(biāo)，過(guò)Q作QN垂直于x軸，連接OQ，根據(jù)CO=QO，OP=QP，得到CP垂直平分OQ，即M為OQ中點(diǎn)，利用同角的余角相等得到∠OCP=∠QON，由OP=2，OC=4，求出tan∠OCP的值，即為tan∠QON的值，在直角三角形OCP中，利用面積法求出OM的長(zhǎng)，確定出OQ的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義求出QN與ON的長(zhǎng)，確定出Q坐標(biāo)，根據(jù)A與O坐標(biāo)設(shè)出拋物線的二根式方程，將Q坐標(biāo)代入即可確定出解析式．

解答：（1）證明：連接CP，DP，
∵AD，CO都與圓O相切，
∴PQ⊥CQ，CO⊥PO，
∴CO=CQ，
在Rt△CPO與Rt△CPQ中，

CO=CQ CP=CP

，
∴Rt△CPO≌Rt△CPQ（HL），
∴∠CPO=∠CPQ，
同理∠DPQ=∠DPQ，
∵∠QPO+∠QPA=180°，即∠CPO+∠CPQ+∠DPQ+∠DPA=180°，
∴∠CPQ+∠QPD=90°，
∵∠CPQ+∠PCQ=90°，
∴∠QPD=∠PCQ，
∵∠PQD=∠CQP=90°，
∴△PDQ∽△CPQ，
∴

PQ

CQ

=

QD

PQ

，即PQ²=CQ•QD；
（2）解：∵a=1，∴A（4，0），
連接OQ，與CP交于點(diǎn)M，過(guò)Q作QN⊥x軸，
∵CO=CQ，PO=PQ，
∴CP垂直平分OQ，
∴OM=QM，
∵

1

2

CP•OM=

1

2

OC•OP，
∴OM=

OC•OP

CP

=

4×2

2 5

=

4 5

5

，
∴OQ=

8 5

5

，
∵∠OCP=∠QON，
∴tan∠OCP=tan∠QON=

OP

OC

=

1

2

，
設(shè)QN=x，則有ON=2x，
根據(jù)勾股定理得：x²+（2x）²=（

8 5

5

）²，
解得：x=

8

5

（負(fù)值舍去），
∴Q（

8

5

，

16

5

），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-0）（x-4），
將x=

8

5

，y=

16

5

代入得：a=-

5

6

，
則拋物線解析式為y=-

5

6

x²+

10

3

x．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．