Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別是邊AC、AB的中點(diǎn)，DF⊥AC，DF與CE相交于點(diǎn)F，AF的延長線與BD相交于點(diǎn)G．
（1）求證：AD²=DG•BD；
（2）聯(lián)結(jié)CG，求證：∠ECB=∠DCG．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)已知求出AD=AE，根據(jù)SAS證出△BAD≌△CAE，得出∠ABD=∠ACE，再根據(jù)DF⊥AC，AD=CD，得出AF=CF，∠GAD=∠ACE，從而得出∠GAD=∠ABD，再根據(jù)AA證出△GDA∽△ADB，得出

AD

DB

=

DG

AD

，即可得出AD²=DG•BD；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上證明△DCG∽△DBC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可以得到相應(yīng)的答案．

解答：證明：（1）∵AB=AC，AD=

1

2

AC，AE=

1

2

AB，
∴AD=AE，
在△BAD和△CAE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△BAD≌△CAE．
∴∠ABD=∠ACE，
∵DF⊥AC，AD=CD，
∴AF=CF，
∴∠GAD=∠ACE，
∴∠GAD=∠ABD．
∵∠GDA=∠ADB，
∴△GDA∽△ADB．
∴

AD

DB

=

DG

AD

，
∴AD²=DG•BD．

（2）證明：
∵

AD

DB

=

DG

AD

，AD=CD，
∴

CD

DB

=

DG

CD

．
∵∠CDG=∠BDC，
∴△DCG∽△DBC．
∴∠DBC=∠DCG．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵∠ABD=∠ACE，
∴∠ECB=∠DBC=∠DCG，
∴∠ECB=∠DCG．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)求解．