Question

【題目】已知線段MN=8，C是線段MN上一動(dòng)點(diǎn)，在MN的同側(cè)分別作等邊△CMD和等邊△CNE．
（1）如圖①，連接DN與EM，兩條線段相交于點(diǎn)H，求證ME=DN，并求∠DHM的度數(shù)；

（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)D、E分別作線段MN的垂線，垂足分別為F、G，問(wèn)：在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，DF+EG的長(zhǎng)度是否為定值，如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值，如果不是請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)C由點(diǎn)M移到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)H移到的路徑長(zhǎng)度為（直接寫(xiě)出結(jié)果）

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵△CMD與△CNE是等邊三角形，

∴CM=CD，EC=NC，∠DCM=∠ECN=60°，

∴∠DCN=∠MCE=120°，

在△MCE與△DCN中， ，

∴△MCE≌△DCN，

∴ME=DN，∠CME=∠CDN，

∵∠1=∠2，

∴180°﹣∠CME﹣∠1=180°﹣∠CDN﹣∠2，

∴∠DHM=∠DCM=60°；

（2）

解：DF+EG為定值，

理由：設(shè)MF=FC=x，則CG=NG=4﹣x，

∴DF= x，EG= （4﹣x），

∴DF+GE= x+ （4﹣x）=4 ；

（3）
【解析】（3）解：如圖③，當(dāng)點(diǎn)C由點(diǎn)M移到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)H移到的路徑即為 ，
∵∠MHD=60°，
∴∠MHN=120°，
∴∠MPN=60°，
∴∠MON=120°，
∵M(jìn)N=8，
∴OM=ON= ，
∴點(diǎn)H移到的路徑長(zhǎng)度= = ，
所以答案是： ．

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用三角形的內(nèi)角和外角和等邊三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握三角形的三個(gè)內(nèi)角中，只可能有一個(gè)內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個(gè)銳角互余；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角；等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°．