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【題目】如圖,在RtACB中,∠ACB=90°,A=30°,點DAB邊的中點.

(1)如圖1,若CD=4,求ACB的周長.

(2)如圖2,若EAC的中點,將線段CEC為旋轉中心順時針旋轉60°,使點E至點F處,連接BFCD于點M,連接DF,取DF的中點N,連接MN,求證:MN=2CM.

(3)如圖3,以C為旋轉中心將線段CD順時針旋轉90°,使點D至點E處,連接BECDM,連接DE,取DE的中點N,連接交MN,試猜想BD、MN、MC之間的關系,直接寫出其關系式,不證明.

【答案】(1)12+4;(2)證明見解析;(3)證明見解析.

【解析】(1)根據直角三角形斜邊中線的性質,直角三角形30度角性質以及勾股定理即可解決問題.

(2)如圖2中,作BQCDQ,FPMNDC的延長線于P.首先證明BQM≌△FCM,推出QC=2CM,再證明BQC≌△FCP,推出PF=BC=2QC,再根據三角形中位線定理即可解決問題.

(3)結論:(BD)2+(BD-CM)2=MN2.作BQCDQ,連接QN,只要證明QMN是直角三角形,QN=BD,QM=BD-CM即可解決問題.

如圖1中,

RtACB中,∵∠ACB=90°,A=30°,點DAB邊的中點.

CD=BD=AD=4,BC=AB=4,

AC==,

∴△ABC的周長為4+8+4=12+4

(2)證明:如圖2中,作BQCDQ,FPMNDC的延長線于P.

∵△BDC是等邊三角形,邊長為2,

∴高BQ=2,DCB=60°,ACD=30°

EA=EC=2,

CE=CF=BQ,

∵∠ECF=60°,ACD=30°,

∴∠DCF=90°,

∴∠BQM=MCF=90°,

BQMFCM中,

∴△BQM≌△FCM,

QM=MC.QC=2MC,

DN=NF,MNFP,

DM=MP,

DQ=CP=QC,

BQCFCP中,

,

∴△BQC≌△FCP,

PF=BC=DC=2QC,

MN=PF,

MN=QC=2CM.

(3)解:如圖3中,結論:(BD)2+(BD-CM)2=MN2.理由如下:

BQCDQ,連接QN,

∵△BDC是等邊三角形,

∴∠DBQ=30°,

DQ=QC=BD,

DC=CE,DCCE,

∴∠CDE=CED=45°,

DQ=QC,DN=NE,

QNEC,

∴∠QDN=NQM=DCE=90°,

∴∠QDN=QND=45°,

QD=QN=BD,

QN2+QM2=MN2,

BD)2+(BD-CM)2=MN2

練習冊系列答案
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(2)將圖1中的三角板繞點O以每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉一周,在旋轉的過程中,第t秒時,直線ON恰好平分銳角∠AOC,則t的值為_________(直接寫出結果).
(3)將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉至圖3,使ON在∠AOC的內部,請?zhí)骄浚?/span>

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