Question

正方形ABCD中，P是對角線AC上一動點，過點P作PF⊥CD于點F．
（1）直接寫出∠ACB、∠ACD的大小；
（2）如圖1，若點P是對角線AC的中點，求證：DF=CF；
（3）如圖2，連接BP，作PE⊥PB交CD邊于點E（點E不與D、C重合）；
①求證：DF=EF；
②寫出線段PC、PA、CE之間的一個等量關(guān)系，不必證明．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）運用正方形的性質(zhì)直接寫出，即可解決問題．
（2）運用正方形的性質(zhì)，借助中位線定理即可解決問題．
（3）①如圖，作輔助線，證明△PBQ≌△EPF，即可解決問題．
②證明PA=

2

PM，PC=

2

CF，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠ACD=45°．
（2）如圖1，∵PF⊥CD，∠D=90°，
∴PF∥AD，而PA=PC，
∴DF=CF．
（3）①DF如圖2，過點P作MN∥CD；延長FP交AB于點Q；
則四邊形AQPM、四邊形PNCF均為正方形，四邊形PQBN為矩形；
∴DF=PM=PQ；PN=PF；而BQ=PN，
∴BQ=PF；
∵PE⊥PB，而∠BQP=90°，
∴∠QBP+∠BPQ=∠BPQ+∠FPE，
∴∠QBP=∠FPE；
在△PBQ與△PEF中，

∠PQB=∠EFP BQ=PF ∠QBP=∠FPE

，
∴△PBQ≌△EPF（ASA），
∴PQ=EF；而PQ=DF，
∴EF=DF．
②由勾股定理得：
2PM²=PA²，2CF²=PC²，
∴PA=

2

PM，PC=

2

CF；
∴PA=

2

EF，而CF=CE+EF，
∴PC=

2

（CE+

PA

2

），
整理得：PC-PA=

2

CE．

點評：該題以正方形為載體，以全等三角形的判定及其性質(zhì)、正方形的性質(zhì)及其應(yīng)用等為考查的核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是靈活運用有關(guān)定理來分析、判斷、解決．