Question

已知拋物線y=-

1

3

x²+

1

3

x經(jīng)過原點(diǎn)，將直線l：y=

1

2

x向下平移n個(gè)單位，與拋物線交于E、F兩點(diǎn)，若∠EOF=90°，求n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：計(jì)算題

分析：設(shè)E（x₁，y₁），（x₂，y₂），利用勾股定理和兩點(diǎn)間的距離公式得到x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²，整理得到x₁x₂+y₁y₂=0，再根據(jù)一次函數(shù)圖象的平移問題得到直線y=

1

2

x向下平移n個(gè)單位后的解析式為y=

1

2

x+n，則根據(jù)二次函數(shù)圖象與異次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題得到

y= 1 2 x+n y=- 1 3 x2+ 1 3 x

，消去y得-

1

3

x²+

1

3

x=

1

2

x+n，整理得2x²+x+6n=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-

1

2

，x₁x₂=3n，接著用n表示y₁y₂，然后利用x₁x₂+y₁y₂=0得到關(guān)于n的一元二次方程，再解方程即可得到n的值．

解答：解：設(shè)E（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∵∠EOF=90°，
∴OE²+OF²=EF²，
∴x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
直線y=

1

2

x向下平移n個(gè)單位后的解析式為y=

1

2

x+n，
由方程組

y= 1 2 x+n y=- 1 3 x2+ 1 3 x

得-

1

3

x²+

1

3

x=

1

2

x+n，
整理得2x^2₊x+6n=0，
∴x₁+x₂=-

1

2

，x₁x₂=3n，
∵y₁y₂=（

1

2

x₁+n）（

1

2

x₂+n）=

1

4

x₁x₂+

1

2

n（x₁+x₂）+n²=

1

4

•3n-

1

2

n•

1

2

+n²=n²+

1

2

n，
∴3n+n²+

1

2

n=0，解得n₁=0（舍去），n₂=-

7

2

，
∴n的值為-

7

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換：一次函數(shù)y=kx+b向下平移m個(gè)單位所得直線解析式為y=kx+b-m．也考查了勾股定理和根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題．