Question

如圖，分別以線段AB的兩個端點為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧交于M、N兩點，連接MN，交AB于點D、C是直線MN上任意一點，連接CA、CB，過點D作DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F．
（1）求證：△AED≌△BFD；
（2）若AB=2，當CD的值為

 

時，四邊形DECF是正方形．

Answer 1

考點：正方形的判定,全等三角形的判定

專題：

分析：（1）先由作圖知MN是線段AB的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出CA=CB，AD=BD，由等邊對等角得到∠A=∠B，然后利用AAS即可證明△AED≌△BFD；
（2）若AB=2，當CD的值為1時，四邊形DECF是正方形．先由CD=AD=BD=1，MN⊥AB，得出△ACD與△BCD都是等腰直角三角形，則∠ACD=∠BCD=45°，∠ECF=90°，根據(jù)有三個角是直角的四邊形是矩形證明四邊形DECF是矩形，再由等角對等邊得出ED=CE，從而得出矩形DECF是正方形．

解答：（1）證明：由作圖知，MN是線段AB的垂直平分線，
∵C是直線MN上任意一點，MN交AB于點D，
∴CA=CB，AD=BD，
∴∠A=∠B．
在△AED與△BFD中，

∠AED=∠BFD=90° ∠A=∠B AD=BD

，
∴△AED≌△BFD（AAS）；

（2）解：若AB=2，當CD的值為1時，四邊形DECF是正方形．理由如下：
∵AB=2，
∴AD=BD=

1

2

AB=1．
∵CD=AD=BD=1，MN⊥AB，
∴△ACD與△BCD都是等腰直角三角形，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠ECF=∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠DEC=∠DFC=90°，
∴四邊形DECF是矩形，∠CDE=90°-45°=45°，
∴∠ECD=∠CDE=45°，
∴ED=CE，
∴矩形DECF是正方形．
故答案為1．

點評：本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定，正方形的判定，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．