Question

【題目】如圖，在中，，，，的中垂線與的角平分線交于點，則四邊形的面積為_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

過點E作EG⊥AB交AB延長線于G，作EH⊥AC于H，根據角平分線的性質和線段垂直平分線的性質得到EG＝EH，EB＝EC，然后證明Rt△EGB≌Rt△EHC，Rt△AGE≌Rt△AHE，求出S△EGB＝S△EHC，BG＝，得到AG＝，然后證明四邊形AGEH是正方形，根據四邊形ABEC的面積等于正方形AGEH的面積計算即可.

解：過點E作EG⊥AB交AB延長線于G，作EH⊥AC于H，

∵AE是∠BAC的角平分線，

∴EG＝EH，

∵DE是線段BC的垂直平分線，

∴EB＝EC，

在Rt△EGB和Rt△EHC中，，

∴Rt△EGB≌Rt△EHC（HL），

∴BG＝CH，S△EGB＝S△EHC，

在Rt△AGE和Rt△AHE中，，

∴Rt△AGE≌Rt△AHE（HL），

∴AG＝AH，

∴AB＋BG＝AC－CH，

∴3＋BG＝4－BG，

∴BG＝，

∴AG＝AB＋BG＝，

∵∠GAC＝∠AGE＝∠AHE＝90°，

∴四邊形AGEH是矩形，

∵AG＝AH，

∴矩形AGEH是正方形，

∴S四邊形ABEC＝S四邊形ABEH＋S△EHC＝S四邊形ABEH＋S△EGB＝S正方形AGEH＝AG2＝，

故答案為：.