Question

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC，若MN是經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的直線，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）求證：DE=AD+BE．
（2）若將MN繞C旋轉(zhuǎn)，使MN與AB相交，其他條件都不變，AD與CE邊相等嗎？（見(jiàn)圖2）．
（3）在圖2中，證明AD、BE和DE有何關(guān)系？直接寫(xiě)出答案．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專(zhuān)題：幾何綜合題

分析：（1）求出∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，∠DAC=∠ECB，根據(jù)AAS推出即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可；
（3）根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出AD=CE，BE=CD，即可求出答案．

解答：（1）證明：AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，

∠ADC=∠BEC ∠DAC=∠ECB AC=BC

∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC=BE，AD=CE，
∴DE=DC+CE=AD+BE．

（2）解：AD=CE，
理由是：AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中

∠ADC=∠BEC ∠DAC=∠ECB AC=BC

∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE；

（3）DE=AD-BE，
證明：∵△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，BE=CD，
∵DE=CE-CD，
∴DE=AD-BE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，SSS，AAS，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．